Математика задачи с решением и примерами

Прежде чем изучать готовые решения задач по математике, нужно знать теорию, поэтому для вас я подготовила краткие лекции по предмету «математика», с подробным решением задач.

Эта страница подготовлена для школьников и студентов.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Математика

Математика – это наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. В нее входят такие дисциплины, как арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия, высшая математика (аналитическая геометрия, линейная алгебра, математический анализ, дифференциальное и интегральное исчисления и др.). Каждая из них изучает количественные отношения и пространственные формы мира в особом аспекте и действует своими собственными методами.

Буквенные выражения

Употребление букв. Составление формул

Когда хотят назвать какое-нибудь число, то произносят его наименование или записывают его циф­рами, например (два).

Когда хотят сказать о числе, не указывая, о ка­ком именно, то обозначают его буквой. Так делают по разным причинам: например, потому, что упоминаемое число неизвестно, или потому, что безразлично, чему именно оно равняется.

При решении задач приходится встречаться с раз­личными величинами, определяемыми условиями задачи. Каждая величина может иметь то или иное числовое значение, т. е. выражаться тем или иным числом. Очень часто, обозначив величину бук­вой, в случае надобности вместо буквы подставляют числа.

Предположим, например, что величина, которую мы рассматриваем, есть число уроков в классе: обозначим эту величину буквой . Если сегодня было, допустим, пять уроков, то равно ; если завтра будет четыре уро­ка, то можно будет написать: ; в воскресенье совсем нет уроков, и потому .

Различные величины, чтобы избежать смешения, обозначают различными буквами.

Так, можно обозначить число классных уроков через , а число часов домашних занятий через .

Если захотим узнать, сколько было всего часов учебных занятий (и классных и домашних), то придется написать .

С числами, которые обозначены буквами, обращаются, как со всякими числами: их можно сравнивать по величине, а также складывать, вычитать, умножать и делить. Нередко числа и буквы встречаются одновременно.

Знаки действий с буквами — те же, что и с числами. Нужно только обратить внимание на две осо­бенности.

1) В качестве знака умножения принята точка, а не косой крест; но ради краткости точка большею частью вовсе опускается .

2) Двоеточие как знак деления малоупотреби­тельно: результат деления обыкновенно записывается в виде дроби.

Таким образом, сумма, разность, произведение и частное (отношение) величин, обозначенных буквами и , записываются следующим образом:

, , или , (реже ).

Необходимо ясно понимать, что если, например, величине придается значение , а величине — зна­чение (т. е. , ), то сумма имеет уже не иное значение, как , так что ; точно так же в этом случае , ,.

Записи, составленные из математических знаков, чисел, букв и знаков действий, а также знаков ра­венств или неравенств, носят название формул.

Вот какие формулы пишут студенты, которые учат­ся в университете.

Формулы, которые составлены из чисел, букв и зна­ков действий и не содержат знаков равенства или нера­венства, называются также алгебраическими (буквенными) выражениями . Вот примеры алгебраических выражений: , , , .

Если в данном выражении совсем нет букв, а есть только числа и знаки действий, то его называют также арифметическим (числовым); таковы выражения:, , .

Арифметика учит обращаться с числами, алгебра — с буквами.

Подстановка числовых значений в формулу и составление таблиц по формуле

Математическая формула, выражающая какую-нибудь величину через другие данные величины, указывает, какие действия и в каком порядке нужно выполнить над данными величинами для того, чтобы получить величину, которая нас интересует. Если имеется формула, достаточно заменить содержащиеся в ней буквы их числовыми значениями и произвести над ними арифметические действия, чтобы иметь значение нашей вели­ чины.

Формула не занимает много места; она легко запоминается; в сжатом виде она содержит решение множества задач, различных по числовым данным, но сходных по содержанию.

При составлении (или, как говорят, при выводе) формулы решающему ту или иную задачу необходимо понимать и уметь объяснить, по какой причине или с какой целью выполняется каждое отдельное дей­ствие, указанное формулой. Не всякую формулу легко вывести. Вывод некоторых формул более или менее за­труднителен.

Гораздо легче пользоваться уже готовой формулой.

Вот примеры формул (которые мы не будет выво­дить). Результаты вычислений, по ним произведенных, следует считать приблизительными.

Формулы с одной буквой. Таблица состав­ляется из двух рядов чисел: один ряд содержит число­ вые значения буквы, подставляемые в формулу, дру­гой — те значения рассматриваемой величины, которые получаются по формуле. Располагают эти ряды чисел по строкам (горизонталям) или по столбцам (вертикалям) — смотря как удобнее.

При составлении таблицы букве, входящей в формулу, дают равноотстоящие значения — таким образом, чтобы каждое следующее значение было больше предыдущего на одно и то же число (шаг таблицы). Если при вычислении по­лучаются дробные значения величины, то, записывая в таблицу, их обыкновенно округляют в десятичных дробях.

Формулы с двумя буквами. Если формула содержит две буквы, то таблица имеет более сложный вид. Равноотстоящие значения одной из букв выписывают в исходном столбце (вертикали), равноотстоящие значения другой буквы — в исходной строке (горизонтали); значения, получаемые в результате вычисления, помещают в надлежащих местах внутри таблицы.

Таким образом получается таблица с двойным входом.

Вам прекрасно известен простейший пример таблицы с двойным входом: это — обыкновенная таблица умножения. Она составлена по формуле: .

Начало таблицы имеет вид:

Словесное чтение формул и запись их под диктовку

Из арифметики известно, что означают слова «сум­ма», «разность», «произведение» и т. п. Скажем кратко относительно употребления подобного рода наименований в алгебре. В алгебре обыкновенно не различают «множимое» и «множитель»: перемножаемые числа или выражения называют «сомножителями» или (гораздо чаше) просто « множителями » . Вместо «частное, получаемое при делении одного числа на другое», говорят короче: « отношение одного числа к другому». Вме­сто «частное, получаемое при делении единицы на данное число», говорят: «число, обратное данному».

Скобки в алгебре употребляются так же, как и в арифметике: они определяют порядок действий в том смысле, что сначала надлежит выполнить действие, указанное внутри скобок.

При отсутствии скобок умножение выполняют рань­ше сложения и вычитания. Например, в формуле подразумевается, что сначала нужно умножить на , затем полученное произведение прибавить к .

Напротив, если требуется сначала к прибавить , а затем полученную сумму умножить на , то придется формуле придать вид .

По поводу употребления скобок при делении го­ворить незачем, так как деление в алгебре большей частью обозначается посредством горизонтальной черты, причем сама черта играет роль скобки. Таким образом, запись означает, что сначала нужно разделить на , затем полученное частное прибавить к ; если же требуется сначала к прибавить , затем по­лученную сумму разделить на , то пишут также без скобок .

Уравнения

Рассмотрим неравенство .

Попробуйте подобрать такое числовое значение , при котором это равенство оказывается верным. По­пробуйте сформулировать вопрос словами: «Нужно найти число, обладающее таким свойством:…»

Равенство между двумя числами (или числовыми вы­ражениями) может быть или верным, или неверным.

Верно оно в том случае, если левая и правая его части представляют собою одно и то же число; неверно, если числа различны. Так, равенства , являются верными; равенства же , неверны. Неверные равенства свидетельствуют о сде­ланной ошибке.

Предположим теперь, что некоторое равенство со­держит в какой-нибудь из двух частей или в обеих ча­стях только одну букву, значение которой не указано.

Такое равенство может быть верным при одном число­вом значении буквы и неверным — при другом. Если мы ставим своей задачей узнать, при каких значениях входящей буквы равенство оказывается верным, то мы называем равенство уравнением . Сама буква в этом случае называется неизвестная (буква) или просто неизвестное . О таких числовых значениях неизвестного, при которых равенство становится вер­ным, говорят, что они удовлетворяют уравнению; каждое такое значение называется корнем уравнения (также решением уравнения). Так напри­мер, уравнение имеет корень ; уравнение имеет корень ; уравнение имеет корень ; уравнение имеет корень .

Не всякое уравнение имеет корень. Например, не имеет корня уравнение : на какое бы число — целое или дробное — мы ни стали делить единицу согласно правилам ариф­метики, непременно получится число, отличное от нуля. Не имеет также корня уравнение . В самом деле, если подставим вместо число, большее, чем , то уже одно первое слагаемое в левой части будет больше, чем правая часть; если подставим число, меньшее, чем , то уже одно второе слагаемое будет больше правой части; не удовлетворяет уравнению и само число .

Но в иных случаях уравнение может иметь и больше одного корня. Так, уравнение имеет корень и имеет корень . Уравнение имеет бесчисленное множество корней: именно вы сами сможете убедиться посредством подстановки, что любое число, отличное от нуля, удовлетворяет этому уравнению.

Решить уравнение — значит найти все его корни (или убедиться в их отсутствии).

Найти корень уравнения посредством угадывания не всегда легко. Кроме того, решить уравнение, т.е . найти все его корни, посредством угадывания даже невозможно, если не знать заранее, имеются ли корни и сколько их.

Таким образом, очень важно установить правила для решения уравнений.

Решение уравнений применением свойств арифметических действий

Установление правил для решения уравнений — одна из важнейших задач алгебры.

Некоторые из этих правил чрезвычайно просты. На­ пример, при решении уравнения можно основываться на правиле, известном из арифметики: зная сумму и одно из двух слагаемых, для нахождения другого слагаемого достаточно из суммы отнять известное слагаемое. Таким образом, неизвестное равно раз­ности суммы и слагаемого : , и, следовательно, уравнение имеет единственное решение: .

Трудно ошибиться в выборе нужного правила, если поставить перед собой задачу в форме вопроса: к какому числу нужно прибавить , чтобы получить ? Ясно, что из надо вычесть .

Рассмотрим еще уравнение .

Поставим перед собой вопрос: на какое число нужно разделить , чтобы получилось ? Очевидно, что для определения этого числа прядется разделить на : делитель равен делимому, деленному на частное (так как один из двух множителей равен произведению, де­ ленному па другой множитель). Получается: .

Иногда при решении уравнения бывает необходимо рассуждения подобного рода проделать несколько раз. Вот примеры.

Пример 1. .

Спросим себя: к какому числу нужно прибавить , чтобы получить ? По сумме и второму слагаемому первое слагаемое узнается посредством вычитания: в данном случае оно равно , т. е. . Итак, .

Какое число нужно умножить на , чтобы получить ? По произведению и множителю множимое узнается посредством деления: в данном случае не­ известное множимое равно . т. е. . Итак, .

Проверка: .

Пример 2. .

Какое число нужно умножить на , чтобы получить ? Чтобы узнать множимое, придется произведение разделить на множитель . Отсюда следует, что .

Из какого числа нужно вычесть , чтобы получить ? Для нахождения уменьшаемого нужно к разности прибавить вычитаемое . Значит, .

Какое число нужно разделить на , чтобы получить ? Для нахождения делимого нужно частное умножить на делитель . Поэтому .

К какому числу нужно прибавить , чтобы получить ? Очевидно, придется из суммы вычесть слагаемое , и тогда получим: .

Наконец, какое число нужно умножить на , чтобы получить ? Ответ ясен: нам придется разделить на , что дает нам .

Проверка: .

Только самые простые уравнения решаются непосредственно по правилам арифметики. В дальнейшем постепенно будут указаны более усовершенствованные приемы решения некоторых, часто встречающихся, уравнений; приемы решения других, реже встречающихся, уравнений, иногда настолько сложны, что не рассматриваются в средней школе.

Решение задач при помощи уравнений

Мы будем решать сначала только самые простые задачи, т. е. такие, которые легко решить арифметически, не прибегая к алгебре.

Задача. Я получил руб. и положил деньги в карман. После этого в кармане стало 40 руб. Сколько рублей было в кармане раньше?
Чтобы решить эту простую задачу алгебраическим путем, нужно прежде всего составить уравнение .

Будем рассуждать. Сначала у меня в кармане было какое-то, нам неизвестное, число рублей. Обозначим его буквой . В условии задачи сказано, что я получил руб.; эти деньги прибавились к тем деньгам, которые были раньше, и стало руб. С другой стороны, в условии сказано также, что потом в кармане у меня стало руб. Таким образом, и представляют одно и то же число; отсюда получается равенство .

Так как в него входит неизвестная величина , ко­торую мы хотим определить, то мы составили, следовательно, уравнение из условия нашей задачи.

Остается решить уравнение: в данном случае до­статочно воспользоваться правилами арифметики.

Можно порекомендовать при составлении уравнения говорить (или писать) по возможности короче.

Так, при решении приведенной выше задачи достаточ­но сказать (или написать) следующее:

Сначала у меня в кармане было руб.
Получил я »
После этого стало у меня »
Но по условию у меня стало »
Итак, .
Отсюда вытекает: ,
т. е. .

В этой задаче мы пришли к двум различным вы­ражениям для одной и той же величины; соединяя эти выражения знаком равенства, мы получили уравнение задачи. Подобным же образом составляются уравнения и в других случаях.

Графические вычисления в математике

Сравнение величин н изображение их отрезками

Если хотят сравнить два числа, то или вычитают одно из другого, или делят одно на другое.

Так, слова « больше, чем , на » (или « меньше, чем , на ») означают, что разность чисел и равна .

Слова же « больше, чем , в раза» (или « меньше, чем , в раза») означают, что частное от де­ления числа на равно .

Отношение чисел

Отношением числа к числу называется частное , происходящее отделения на .

Очевидно, отношение к показывает, во сколько раз больше, чем .

Отношение записывают в виде обыкновенной дроби, с горизонтальной чертой, или в виде десятичной дроби, с округлением, если нужно. Но иногда записывают также и в виде частного двух целых чисел, пользуясь при этом двоеточием как знаком деления: в последнем случае естественно, чтобы числа были взаимно про­стыми.

Например, если у Сергея рублей, а у Фе­дора рублей, то отношение «суммы денег у Сергея» к «сумме денег у Федора» равно ; или ; или еще говорят, что названные суммы «относятся как к , и пишут «».

Напротив, отношение «суммы денег у Федора» к «сумме денег у Сергея» равно , или (приблизительно) ; или можно сказать, что эти суммы «относятся как к » ().

Легко понять, что отношение к и отношение к представляют собою числа, взаимно обратные: в самом деле, .

Прямая пропорциональность

Определение. Две величины и называются пропорциональными (или «прямо пропорциональными»), если при всех их возможных изменениях их отношение остается равным одному и тому же числу.

Обозначая это число через , мы должны, следова­тельно, иметь равенство .

Но, по правилам арифметики, этому равенству можно придать также вид .

Итак, можно сказать иначе: две величины и называются пропорциональными («прямо пропорциональными»), если величина выражает­ся через величину по формуле вида .

Число называется коэффициентом пропорциональности . Возраст сына и возраст отца не пропорциональны; также сторона квадрата и его площадь; также воз­раст и рост ребенка. Но вес купленного хлеба и его сто­имость пропорциональны; коэффициентом пропорциональности служит цена килограмма хлеба.

Очень важно заметить такие свойства прямой про­порциональности:

1. Если коэффициент пропорциональности неиз­вестен, но зато известны некоторое значение одной из величин и соответствующее ему значение другой величины, то коэффициент пропорциональности определяет­ся посредством деления.

Например, если известно, что величины и пропор­циональны между собой и что при мы имеем , то из соотношения получается , так что .

2. Если величины и пропорциональны между со­бой, то при увеличении одной величины в несколько раз другая увеличивается во столько же раз.

В самом деле, раз отношение остается неизменным, то при увеличении знаменателя в несколько раз во столько же раз должен увеличиться и числитель.

Обратно, если при увеличении одной величины в не­ сколько раз другая увеличивается во столько же раз, то эти величины пропорциональны между собой.

Действительно, раз величины и увеличиваются одновременно в одно и то же число раз, то их отношение остается при этом неизменным.

Обратная пропорциональность

Предположим, что мне дано руб., на покупку хле­ба. Хлеб может стоить больше или меньше, например, в зависимости от сорта. Если кг хлеба стоит руб., то я смогу купить кг; если стоит руб., то я смогу ку­пить кг: если руб., то куплю кг. Во всех случаях произведение цены одного килограмма хлеба на число купленных килограммов будет одно и то же, именно — бу­дет равно . Можно написать равенства: и т. д.

Определение. Две величины и называются обратно пропорциональными, если при всех их возможных изменениях произведение остает­ся равным одному и тому же числу.

Обозначая это число через , мы должны, следовательно, иметь равенство . Но по правилам арифметики этому равенству можно придать также вид .

Итак, можно сказать иначе: две величины и
называются обратно пропорциональными, если величина выражается через величину по фор­муле вида .

Число тоже называется коэффициентом пропорциональности (обратной).

Примером обратно пропорциональных величин слу­жит цена килограмма хлеба к числу купленных кило­ граммов при заранее заданной стоимости покупки. Ко­эффициент пропорциональности как раз и равняется этой стоимости.

Заметим по поводу обратной пропорциональности следующее:

1. Если коэффициент пропорциональности не задан, но зато известны два соответствующих друг другу значения самих величин, то коэффициент может быть оп­ределен посредством умножения.

Например, если известно, что величины и об­ратно пропорциональны и что значению соответствует значение , то отсюда следует: .

2. Если величины и обратно пропорциональны, то при увеличении одной величины в несколько раз дру­гая уменьшается во столько же раз.

Действительно, раз произведение остается неиз­менным, то при увеличении одного из множителей в не­сколько раз другой должен уменьшиться во столько же раз.

Обратно, если при увеличении одной величины в несколько раз другая уменьшается во столько же раз, то эти величины обратно пропорциональны между собой.

В самом деле, раз величина увеличивается в несколько раз, а величина при этом уменьшается во столько же раз, то их произведение остается неизменным.

Графическое представление зависимости между величинами

Предположим, что буквами и обозначены две какие-то величины, связанные между собою такой зависимостью, что каждому значению величины соответствует некоторое значение вели­ чины .

Наглядную и выразительную картину этой зависимости можно дать с помощью следующего графического изображения (представления).
На горизонтальной прямой (оси) вправо от некоторой точки откладывается ряд отрезков, изображающих в надлежащем масштабе различные числовые значения ; затем, также в надлежащем масштабе, в конце каждого отложенного отрезка строится вертикальный отрезок («столбик»), изображающий полученное по формуле значение .

По расположению точек, являющихся вершинами столби­ков, судят о том, какова зависимость между величинами и .

Иногда вершины столбиков соединяют плавной линией — пря­мой или кривой (график зависимости между и ).

Пропорциональное деление. Прямоугольные и секторные диаграммы

Задача. Разделить число на части пропорционально числам , , (или в отношении ).

Это значит: найти три числа, пропорциональные числам , , и в сумме составляющие .

Решение. Обозначая коэффициент пропорциональ­ности буквой , можно записать три искомых числа в виде , и . Их сумма тогда равна: .

Но по условию задачи эта сумма должна равнять­ся . Итак: , Решая это уравнение относительно , получим: .

В таком случае искомые числа будут ; и , т. е. ; и .

Проверка: .

Задачи, в которых требуется разделить данное число на несколько частей (две, три или больше) пропорционально данным числам, называются задачами на пропорциональное деление.

При решении задач на пропорциональное деление удобнее всего в качестве не­известного брать коэффициент пропорциональности.

Чтобы изобразить распределение на части, различающиеся теми или иными признаками, нередко представляют целое в виде прямоугольника, разделяя его прямыми, параллель­ными одной из сторон, пропорционально заданным размерам частей.

Так строятся прямоугольные диаграммы.

Иногда подобным же образом целое представляют в виде кру­га, разделяя его радиусами таким образом, чтобы были пропорциональны размерам частей центральные углы и, следовательно, площади секторов.

Так строятся секторные диаграммы.

Свойства арифметических действий

Сложение

Из арифметики известно, что сумма двух слагаемых не изменяется при их перестановке, например, .

В случае целых слагаемых эго следует из того, что безразлично, в каком порядке считать кружочки (черт. 18): начиная с первой строки, получим ; начиная со второй, то получим . В случае дробей с одинаковыми знаменателями, по правилу сложения дробей, сумма — также дробь с тем же знаменателем, остается сложить в числителе целые числа; например: .

Если же знаменатели разные, то по тому же правилу нужно предварительно привести дроби к общему знаменателю.

Таким образом, наше утверждение верно при каких угодно слагаемых.

В буквенной форме оно записывается так:

I.

Это равенство верно при всех значениях букв и .

Оно называется переместительным законом сложения.

Из арифметики же известно следующее: чтобы к не­которому числу прибавить сумму двух других чисел, до­статочно прибавить сначала первое слагаемое, потом второе. Например: .

Объясним это, в случае целых чисел, тоже с помощью кружоч­ков (черт. 19).

Можно считать кружочки двумя различными способами: сосчи­тать сначала, сколько кружочков в двух строчках (сначала в пер­вой, потом во второй), и затем присчитать те кружочки; которые в третьей строке; получим ; или сосчитать сначала, сколько кружочков. В последних двух строчках (сначала во второй, потом в третьей)» и после этого то, что получилось, присчитать к кружочкам первой строчки; получим , Очевидно, ре­зультат будет один и тот же.

Если данные числа дробные, с одним и тем же знамена­телем, то, действуя по правилам сложения дробей, нужно совер­шать те же действия с числителями, сохраняя общий знаменатель; например: .

Если же знаменатели разные, то можно прежде всего привести дроби к общему знаменателю.

Итак, наше утверждение верно при каких угодно слагаемых.

Запишем в буквенной форме и запомним:

II.

И это равенство тоже верно при всех значениях букв , и .

Оно называется сочетательным законом сложения.

Из переместительного и сочетательного законов сложения вытекает (следует) такой вывод: сумма трех (или большего числа) слагаемых не изменяется при каких угодно перестановках или группировках слагаемых.

В частности, во всякой сумме можно любое число ря­дом стоящих членов заключить в скобки или можно ско­бок не ставить совсем. Например: .

Вычитание

Когда говорят, что «вычитание есть действие, обратное сложению», то подразумевают, что посредством вычитания решается задача: по сумме и одному из слагаемых найти другое слагаемое. Другими словами, вычесть чис­ло из числа означает решить уравнение (или ).

Решение уравнения существует, если только не пре­вышает ; оно имеет вид .

Из арифметики известны следующие правила, которые мы теперь запишем в буквенной (алгебраической) форме.

Чтобы к некоторому числу прибавить разность, достаточно к нему сначала прибавить уменьшаемое, затем из полученного результата вычесть вычитаемое: .

Чтобы из некоторого числа вычесть сумму двух сла­гаемых, достаточно вычесть из него сначала первое сла­гаемое, потом второе: .

Чтобы из некоторого числа вычесть разность, доста­точно сначала из него вычесть уменьшаемое, затем к по­лученному результату прибавить вычитаемое: .

Умножение

Как известно из арифметики, произведение двух мно­жителей не изменяется . В случае целых множителей это видно из того, что безразлично, как считать кружочки при их перестановке: например, (см. черт. 21): по строкам или по столбцам таблички. Что это верно также для каких угодно дробей, следует из правила умножения дробей: .

В буквенной форме запись предыдущего утверждения имеет вид:

III. .

Это — переместительный закон умножения, справед­ливый при всевозможных значениях и .

Из арифметики же известно: чтобы умножить некото­рое число на произведение двух чисел, достаточно умно­жить это число сначала на первый множитель, потом на второй.

Например: .

На черт. 22 показано, как нужно сложить кубиков для того, чтобы справедливость последнего равенства для случая целых чи­сел стала очевидной.

В случае дробных множителей утверждение следует из правила умножения дробей, например,

Обыкновенно буквенные множители пишут в алфавитном порядке.

В буквенной записи мы получаем:

IV. .

Это — сочетательный закон умножения.

Из этих двух законов вытекает такое следствие: про­изведение трех или большего числа множителей не изменяется при какой угодно перестановке или группировке этих множителей.

В частности, во всяком произведении можно как угод­но поставить скобки или не ставить их совсем. Например: .

Если хот я бы один из множителей произведения равен нулю , то и само произведение равно нулю .

Это необходимо запомнить.

Итак:

Очень важно также знать, что при умножении ка­кого угодно числа на единицу (или единицы на какое угодно число) это число не изменяется: .

При каких угодно значениях , и имеют место равенства:

V. или .

Справедливы также и равенства:

VI. или ,

лишь бы число не превышало числа .

Равенства V и VI выражают разделительный закон умножения относительно сложения и вычитания.

1)Чтобы умножить на некоторое число сумму двух чисел, достаточно умножить на него каждое из слагаемых и произведения сложить.

2) Чтобы умножить на некоторое число разность двух чисел, достаточно умножить на него уменьшаемое и вычитаемое, и второе произведение вычесть из первого.

Деление

Когда говорят, что деление есть действие, обратное умножению, то подразумевают, что посредством деления решается задача: по произведению и одному из двух множителей найти другой множитель. Другими словами, разделить число на число означает решить уравнение: (или ).

Решение существует, если только отлично от нуля, оно записывается следующим образом: (реже ).

Проверку делают посредством подстановки найден­ного значения в заданное уравнение с применением прямого действия — умножения.

Таким образом: .

Как известно из арифметики, для того чтобы разде­лить число на некоторую дробь, достаточно умножить на число, ей обратное. Иначе говоря, достаточно разделить на числитель и умножить на знаменатель. Например:

Это правило, очевидно, годится и для того случая, когда нужно разделить на целое число, так как целое число всегда можно представить в виде дроби.

Запомните твердо равенство:

Чтобы разделить на некоторое число, отличное от нуля, достаточно умножить на число, ему обратное.

Посмотрим, что можно сказать о делении числа на число , если делитель равен нулю.

Возможны два случая.

Если не равно нулю, то уравнение не имеет решений; в самом деле, всякое число, будучи умножено на нуль, дает нуль, и, значит, произведение не может равняться числу, отличному от нуля. Иными сло­вами, разделить на нуль число, отличное от нуля, невозможно.

С другой стороны, если равно нулю, то наше уравнение принимает вид: .

Так как всякое число, будучи умножено на нуль, дает нуль, то любое значение удовлетворяет уравнению.

Иными словами, деление нуля на нуль приводит к совершенно неопределенному результату.

По указанным причинам в математике произведение на буквенное выражение, обязательно предполагают, что это выражение имеет значение, отлич­ное от нуля.

При каких угодно значениях , и (лишь бы с бы­ло отлично от нуля) справедливы равенства:

VII.

VIII.

Это — распределительные законы деления (относительно сложения и вычитания).

Все действия

Сложение и вычитание называются действиями первой степени, умножение и деление — действиями второй степени.

Сложение и умножение считаются прямыми действиями, вычитание и деление — обратными действиями.

Таким образом, классификация действий дается в сле­дующей табличке:

В порядке обзора ниже приводятся некоторые ра­венства, содержащие действия с числами и . В них буква может иметь совершенно произвольные значения; впрочем, в равенствах, отмеченных восклицательным зна­ком, значение должно быть отлично от нуля:

Делить на нуль нельзя.

Равенства и неравенства

Каждое число можно записать самыми разнообразными способами. Например: и т.п.

и т.п.

С другой стороны, два арифметических выражения могут быть соединены знаком равенства, раз они представляют одно и то же число.

Если два числа не равны, то из них всегда одно меньше, другое больше, Именно из двух целых чисел меньше то, которое раньше встречается в нату­ральном ряде ; например, меньше, чем , и это записывается следующим образом: или .

Чтобы судить о том, которая из двух неравных между собой дробей меньше, чем другая, достаточно привести их к общему знаменателю и сравнить числители. Например, , так как , а .

Таким образом, каковы бы ни были два данных числа и (или арифметических выражения), непремен­но имеет место один, и только один, из трех возможных случаев:

1) или и тогда ,

2) ,

3) .

Если хотят записать, что число не равно числу , то пользуются знаком или : , .

Предположим теперь, что заданы две буквы или два буквенных выражения. Связать их между собой одним из трех знаков , , представляет более трудную задачу и именно по той причине, что выбор знака большей частью зависит от числовых значений букв. Так, если рядом стоят выражения: и , то при , мы получаем , , .

Может случиться так, что два буквенных выражения оказываются равными при всех значениях входящих букв. Такие выражения называются тождественно равными, или тождественными; равенство та­ких выражений носит название тождества.

Тождествами считаются также верные арифметические равен­ства (не содержащие ни одной буквы).

Вот примеры тождеств: 1) ; 2) ; 3).

Основные свойства равенств н неравенств

I. Всякая величина равна самой себе: всегда верно
равенство: .

II. Можно переставить между собой левую и правую части равенства. Другими словами: если верно, что , то верно также .

III. Две величины, порознь равные третьей, равны между собою. Другими словами: если верно, что и верно, что , то верно также, что .

Основные свойства неравенств лишь отчасти напоминают основные свойства равенств.

I’. Никакая величина не может быть ни больше, ни меньше себя самой. Итак, неравенства и всегда неверны.

II’. Можно переставить между собою левую и пра­вую части неравенства, изменяя при этом направление знака неравенства. Иначе, если верно, что , то верно также, что ; и если верно, что , то вер­но, что .

III’. Если верны неравенства и ,то верно и неравенство . Если верны неравенства и , то верно и неравенство .

Числовой луч

Очень удобно изображать всевозможные, целые и дробные, числа в виде точек, расположенных на одном и том же луче (полупрямой).

Пусть — вершина луча, и сам луч направлен вправо (см. черт. 25). Приняв некоторый отрезок за единицу длины, отложим его по лучу вправо от вершины один, два, три и т. д. раза; полученные точки будут представлять числа 1, 2, З и т . д. Числу нуль соответствует сама вершина («начало»). Таким образом точками на луче изображены все целые числа.

Чтобы отметить на луче данную дробь, например , разделим единицу длины на семь равных частей и таких частей отложим от вершины четыре. Так поступим и со всякой другой дробью. Таким образом на луче изображаются все дробные числа.

Вместо того, чтобы говорить «точка, соответствующая числу », говорят просто «точка » и т. п.

Число, которое изображается данной точкой, называется ее координатой.

Из произведенного построения видно, что точка находится на расстоянии единиц от начала , точка — на расстоянии единицы от и т. д. Вообще любая отмеченная точка находится на расстоянии единиц от начала .

Отсюда следует:

1) Если , то точки и совпадают. Например, совпадают точки и .

Если , то точка расположена левее точки . Если , то точка расположена правее точки .

Чтобы определить расстояние между двумя точ­ками и на луче, достаточно составить разность между большим и меньшим из чисел и . Если , то точки совпадают, и расстояние между ними считается тогда равным нулю.

Числовой луч, точки которого изображают значения величины , мы ради краткости условимся называть «лучом «.

При построении точек на числовом луче существенную роль играет выбор масштаба. Для того чтобы задать масштаб, доста­точно указать, какой отрезок принят за единицу длины. Если используется клетчатая бумага, то можно установить, например, что одна клетка принята за единиц или что в качестве единицы принят отрезок длиной в клеток и т. п.

Координатный угол

Часто бывает нужно изображать графически не числа, а пары чисел. В таких случаях можно было бы взять два луча и первое число изображать в виде точки на одном луче, а второе — на другом. Но обыкновенно поступают иначе.

Пусть требуется изобразить пару чисел (, ), Тогда рас­ положим лучи и так, чтобы начало у них было одно и то же, и притом луч был бы направлен впра­во, а луч — вверх; на обоих лучах выби­рают масштабы.

Отметив на луче точку , а на луче — точку , проведем через отмеченные точки пря­мые, параллельные лучам и , и возьмем их точку пересечения (см. черт. 27); эта точка и будет изобра­жать пару чисел (). Ради краткости говорят просто «точка », или даже «точка ()». Первое число называется абсциссой точки М, второе число — ординатой; совместно рассматриваемые абсцисса и ордината точки называются ее координатами.

Таким образом, каждой паре чисел соответствует некоторая точка в прямом угле , этот угол иначе называется координатным углом.

Обратно, если дана некоторая точка в нашем угле, то для определения ее координат и достаточно из нее опустить перпендикуляры на лучи и и измерить расстояния оснований перпендикуляров от точки .

Если абсцисса равна нулю, то точка лежит на луче , и обратно.

Если ордината равна нулю, то точка лежит на луче , и обратно.

Точка есть как раз общая вершина лучей и , иначе — начало .

Для удобства отсчетов покрывают координатный угол рядом равностоящих, вертикальных и горизон­тальных прямых ( координатная сетка) .

Числа в математике

Число — одно из основных понятий математики[1], используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей. Письменными знаками для обозначения чисел служат цифры, а также символы математических операций. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа с развитием науки значительно расширилось.

Лекции с примерами решения:

• Числа, числовые и алгебраические выражения
• Законы сложения и умножения чисел в математике
• Преобразование числовых выражении с примерами решения

Преобразование алгебраических выражений

Числовые выражения – что это?

• 3+5, 12+1−6, 18−(4+6), 1+1+1+1+1 и т.п. – это все числовые выражения, а если в выражении выполнить указанные действия, то найдем значение выражения.

Числовое выражение — это комбинация чисел, знаков арифметических действий, дробных черт, знаков корня (радикалов), логарифмов, обозначений тригонометрических, обратных тригонометрических и других функций, а также скобок и других специальных математических символов, составленная в соответствии с принятыми в математике правилами.

Ниже приведены задачи с решением тождественных преобразований алгебраических выражений:

• Упростить выражение задачи с решением
• Вычислить значение выражения задачи с решением
• Доказать рациональность числа задачи с решением

Тригонометрия

Тригонометрия — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии.

Лекции с примерами решения:

• Тригонометрия: определение и пример
• Основные тригонометрические формулы
• Вычисление значений тригонометрических выражений задачи с решением

Уравнения

Уравнение — это равенство, содержащее в себе переменную, значение которой требуется найти. Это значение должно быть таким, чтобы при его подстановке в исходное уравнение получалось верное числовое равенство.

Лекции с примерами решения:

• Что такое уравнение и как его решать
• Квадратные уравнения задачи с решением
• Биквадратные уравнение задачи с решением
• Уравнения с модулем задачи с решением
• Иррациональные уравнения задачи с решением
• Показательные и логарифмические уравнения задачи с решением
• Тригонометрические уравнения задачи с решением

Решение уравнений

Решение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.).

• Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными».
• Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения.
• Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению.

Решить уравнение означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет.

Простейший способ решения уравнений

1. Найти такое значение буквы х, при котором равенство х—8 = 0 становится верным.
Разность двух чисел равна нулю лишь тогда, когда эти числа одинаковые. Поэтому х = 8.

2. Найти такое значение буквы х, при котором равенство x + 8 = 0 становится верным.
Сумма двух чисел равна нулю лишь тогда, когда эти числа противоположны. Поэтому х = — 8.

3. Найти такое значение буквы х, при котором равенство х + 3 = 20 становится верным.
Одно из двух слагаемых равно разности между суммой и другим слагаемым. Поэтому х = 20 — 3, т. е. х = 17.

4. Найти такое значение буквы х, при котором равенство х— 3 = 20 становится верным.
Уменьшаемое равно вычитаемому плюс разность. Поэтому х = 20 + 3, т. е. х = 23.

5. Найти такое значение буквы х, при котором равенство 5х= 20 становится верным.
Один из двух множителей равен произведению, деленному на другой множитель. Поэтому , т. е. х = 4.

6. Найти такое значение буквы х, при котором равенство становится верным.
Делимое равно делителю, умноженному на частное. Поэтому х = 6 • 12, т. е. х = 72.

7. Найти такое значение буквы х, при котором равенство становится верным.
Делитель равен делимому, деленному на частное. Поэтому х = 72 : 12, т. е. x = 6.

8. Найти такие значения буквы х, при которых равенство
(х—4)(х—7)(х—13)=0 становится верным.

Решение. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные множители какие-либо числа. Поэтому наше равенство будет верным либо когда х—4=0, либо когда х—7=0, либо, наконец, когда х—13=0, т. е. данное нам равенство становится верным при х = 4, х = 7 и, наконец, при х = 13. Ни при каких других значениях буквы х данное равенство верным не будет.

9. Найти такое значение буквы х, при котором равенство 2х = Зх становится верным.
Решение. При всяком значении буквы х, отличном от нуля, 2х не равно Зх. При х = 0 как 2х равно нулю, так и Зх равно нулю. Следовательно, равенство 2х = Зх будет верным тогда и только тогда, когда х = 0.

Уравнение и его корень

В каждой из девяти предыдущих задач мы встречались с таким равенством, которое оказывалось верным при одних числовых значениях буквы х и неверным при прочих значениях. Например, равенство х — 8 = 0 является верным лишь при х = 8; равенство (х — 1) (х — 2)(х — 3) = 0 является верным при х = 1, х = 2, х = 3 и неверным при всех прочих значениях буквы х.

Подобные равенства называются уравнениями.

В уравнении х + 5 = 12 буква х называется неизвестной величиной или просто неизвестной.
В уравнении 2у + 3 = 15 буква у есть неизвестная величина, или неизвестное число, или просто неизвестное.

В уравнении неизвестное обозначено буквой N.

То числовое значение неизвестного, при котором уравнение становится верным равенством, называется корнем уравнения или решением уравнения. Например уравнение х + 5 = 12 имеет корень 7, уравнение имеет корень 124; уравнение
(х — 1) (х — 2) = 0 имеет два корня 1 и 2.

Не всякое уравнение имеет корень. Например, уравнение не имеет ни одного корня.

Решить уравнение — это значит найти все его корни или убедиться в их отсутствии.

Примеры простейших уравнений

1. Решить уравнение:

Решение. Произведение частного на делитель равно делимому. Поэтому

Вычитаемое равно уменьшаемому минус разность. Следовательно,

Делитель равен делимому, деленному на частное, т. е.

Одно из двух слагаемых равно сумме минус другое слагаемое. Поэтому

Отсюда

2. Решить уравнение:

Перемножив двучлены, получим

Раскрыв скобки, получим

Уменьшаемое равно вычитаемому плюс разность. Поэтому

Один из двух множителей равен произведению, деленному на другой множитель. Поэтому

Решение задач при помощи уравнений

Задача 1. Квартальная плата за пользование телефоном взимается в сумме 7,5 руб., если абонент пользуется только одним телефонным аппаратом. Если же у абонента два аппарата под одним телефонным номером, то с него взыскивается 10,5 руб. за квартал. От 1042 абонентов банк принял 7899 руб. Сколько было абонентов, пользующихся двумя аппаратами?

Решение. Пусть было х абонентов, пользующихся двумя аппаратами. Тогда абонентов, пользующихся только одним аппаратом, было
1042 — х.

Абоненты, пользующиеся двумя аппаратами, внесли 10,5х руб. Абоненты же, пользующиеся только одним аппаратом, внесли
7,5 (1042 — х) руб.

Все абоненты вместе внесли [10,5х + 7,5 (1042 — х)] руб. Но по условию задачи от всех абонентов банк принял 7899 руб. Следовательно, буква х должна иметь такое значение, при котором равенство 10,5x + 7,5(1042—х) = 7899 становится верным.

Раскрыв скобки, получим 10,5х + 7,5 • 1042 — 7,5x = 7899, сделав приведение подобных членов, будем иметь Зх + 7815 =7899. Пользуясь свойствами действий, получим:

Итак, абонентов, пользующихся двумя аппаратами, было 28.

Задача 2. Найти такое целое положительное число, чтобы произведение двух следующих за ним целых чисел оказалось больше произведения двух ему предшествующих на 600.

Решение. Обозначим искомое число буквой х. Тогда произведение двух следующих за ним целых чисел будет

а произведение двух ему предшествующих целых чисел будет
(х — 1)(х — 2). По условию задачи разность между этими произведениями должна быть равной числу 600. Поэтому буква х должна иметь такое значение, при котором равенство

становится верным.

Теперь задача свелась к тому, чтобы найти такое значение буквы х, при котором последнее равенство становится верным, т. е. к тому, чтобы решить полученное уравнение.

Раскрыв скобки, получим Сделав приведение подобных членов, будем иметь 6x = 600. Отсюда x = 100.

Итак, искомым числом является число 100.

Покажем применение уравнений к решению еще одной такой задачи, которую можно было бы решить значительно проще, чисто арифметическим путем.

Задача 3. В двух домах 48 окон, в одном из них на 2 окна больше, чем в другом. Сколько окон в каждом доме?

Число окон в первом доме обозначим буквой x, тогда число окон во втором доме изобразится выражением х + 2, а число окон в обоих домах будет х + (х + 2).

По условию задачи в обоих домах 48 окон. Поэтому

Отсюда

Значит, в первом доме 23 окна, а во втором 25.

Лекции с примерами решения:

• Решение рациональных уравнений
• Решение уравнений с модулем
• Решение иррациональных уравнений
• Решение показательных уравнений
• Решение логарифмических уравнений
• Решение тригонометрических уравнений

Неравенства

Неравенство в математике — отношение, связывающее два числа или иных математических объекта с помощью одного из перечисленных ниже знаков.

Лекции с примерами решения:

• Что такое неравенства: их свойства и виды
• Решение задач на неравенства
• Неравенства с радикалами задачи с решением
• Показательные неравенства задачи с решением
• Логарифмические неравенства задачи с решением
• Тригонометрические неравенства задачи с решением

Решение неравенств

Если неравенство содержит символы неизвестных, то решение его означает выяснение вопроса, при каких значениях неизвестных неравенство выполняется.

Лекции с примерами решения:

• Решение рациональных неравенств
• Решение неравенств с модулем
• Решение иррациональных неравенств
• Решение показательных неравенств
• Решение логарифмических неравенств
• Решение тригонометрических неравенств
• Решение задач на «Числовые оценки»

Решение задач по системам уравнений и неравенств

Системой неравенств называют запись уравнений, объединенных фигурной скобкой с множеством решений одновременно для всех неравенств, входящих в систему.

Лекции с примерами решения:

• Системы уравнений и неравенств
• Решение систем уравнений и неравенств

Решение текстовых задач в математике

Традиционно текстовыми задачами называются задачи на составление уравнений. Однако встречаются задачи, в которых для нахождения требуемых неизвестных величин приходится пользоваться не только уравнениями, но и неравенствами, а иногда и другими условиями, которые не записываются в форме уравнений и неравенств. Поэтому главным, что объединяет задачи такого типа, является лишь то, что условие задано в форме некоторого текста, без формул, без предварительных буквенных обозначений неизвестных. Обычно в задаче описывается более или менее реальная ситуация, в которой одни величины известны, другие неизвестны. Требуется, исходя из условий задачи, определить одну или несколько неизвестных величин, иногда их комбинации и соотношения.

Решение задачи в том случае, когда составляются уравнения, т. е. соотношения между известными и неизвестными величинами, происходит в три этапа:

1. выбор и обозначение неизвестных;
2. составление уравнений или неравенств;
3. решение полученной системы уравнений и неравенств.

При наличии двух или нескольких решений системы выбирается то или те решения, которые соответствуют смыслу задачи. Так, например, не имеет смысла отрицательная стоимость чего-либо и т.п. При решении задачи важны все три этапа. Очень часто удачный выбор неизвестных быстро приводит к получению ответа, в то время как не совсем удачно выбранные неизвестные затягивают решение или делают его невозможным. Если неизвестные выбраны и обозначены, записать уравнения, как правило, труда не составляет, но нужно очень четко представлять, в чем состоит вопрос задачи. В результате решения систем уравнений и неравенств нужно ответить именно на этот вопрос, только тогда задача считается решенной. Для того чтобы записать словесные условия в виде уравнений и неравенств, нужно, читая условие задачи, постепенно вводить неизвестные и сразу записывать связи между известными и неизвестными величинами. Неважно, если неизвестных и уравнений будет много, постепенно ситуация упростится. Лучше выписывать все, что мы знаем о неизвестных величинах, чем упустить что-либо. При этом, если нужно найти какую-то определенную величину, необязательно находить другие величины, входящие в систему уравнений.

Обычно текстовые задачи делят на типы в зависимости от условий, представленных в тексте. Хотя существует достаточно много задач, в которых объединены несколько типичных условий. Так, задачи на «движение» могут включать проценты, а задачи на «работу» — целочисленные неизвестные и т. п. Тем не менее, мы выделили шесть типов текстовых задач, и, хотя готовых рецептов решения задач не существует, определенные подходы для каждого типа могут помочь при их решении. Прежде всего мы остановимся на задачах на проценты, процентное содержание и концентрации.

Лекции с примерами решения:

• Решение задач на проценты по математике
• Решение задач на смеси, процентное содержание и концентрации по математике
• Решение задач на движение по математике
• Решение задач на работу по математике
• Решение задач на части по математике
• Решение задач на числа по математике
• Решение задач с целочисленными неизвестными по математике
• Решение задач с помощью неравенств

Решение задач на прогрессии

Арифметическая прогрессия — это ряд чисел, в котором все член получаются из предыдущего методом добавления к нему 1-го и того же числа d, которое называется разностью арифметической прогрессии.

Лекция с примерами решения:

• Решение задач на прогрессии по математике

Решение задач на функции

Функция — в математике соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Лекция с примерами решения:

• Решение задач на функции по математике

Математика — лекции с примерами решения

Математика — точная наука, наука о пространственных формах и количественных отношениях. Она является основой почти всех наук, даже гуманитарных, поэтому так важно всем с первых классов изучать и понимать этот предмет. Математика не терпит произвола. Это олицетворение строгой логики и порядка. Она помогает изучить наш мир с его законами.

Освоение математики ещё со школьной скамьи позволяет развивать и упорядочивать мышление ребёнка, усиливает умственные способности. Эти знания будут той базой, которая позволит интеллектуально развиваться впоследствии. Здесь вы найдёте коллекцию видеоуроков по математике, а также конспекты, тесты, тренажёры к ним. Это поможет вам изучать и повторять этот предмет в любое время. А выполняя задания к урокам, вы сможете лучше усвоить предложенный материал.

Действительные числа

Действительное, число — математический объект, возникший из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких вычислительных операций, как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений, исследование поведения функций.

Если натуральные числа возникли в процессе счёта, рациональные — из потребности оперировать частями целого, то действительные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое, помимо чисел рациональных, включает элементы, называемые иррациональными числами.

Лекции и примеры с решением:

1. Прямые и обратные теоремы примеры с решением
2. Делимость целых чисел примеры с решением
3. Метод математической индукции примеры с решением
4. Рациональные числа примеры с решением

Действительные числа, степени и корни, логарифмы. Тождественные преобразования алгебраических выражений

Возведение в степень — арифметическая операция, первоначально определяемая как результат многократного умножения числа на себя.

Корень — это 1) корень степени n из числа a — всякое число x (обозначаемое , a называется подкоренным выражением), n-я степень которого равна a (). Действие нахождения корня называется извлечением корня. 2) Корень уравнения — число, которое после подстановки его в уравнение вместо неизвестного обращает уравнение в тождество.

Логарифм — это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент, т.е. функция от двух переменных.

Тождественные преобразования представляют собой работу, которую мы проводим с числовыми и буквенными выражениями, а также с выражениями, которые содержат переменные. Все эти преобразования мы проводим для того, чтобы привести исходное выражение к такому виду, который будет удобен для решения задачи.

Алгебраическим выражением называется выражение, получаемое из постоянных и переменных при помощи операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня.

Задания на тождественные преобразования алгебраических выражений часто встречаются в вариантах экзаменов, проводимых в форме ЕГЭ как в качестве отдельных заданий, так и в качестве компонентов заданий (например, при решении алгебраических уравнений и неравенств). Для их выполнения требуется умение применять формулы сокращенного умножения, разложения квадратного трехчлена на множители и знать определения и свойства степеней, уметь выделять полный квадрат.

Лекции и примеры с решением:

1. Множество действительных чисел примеры с решением
2. Разложение многочлена на множители примеры с решением
3. Производные пропорции примеры с решением
4. Действия с корнями (радикалами) примеры с решением
5. Степень с рациональным и действительным показателем примеры с решением
6. Логарифмы примеры с решением

Последовательность. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Предел последовательности

В математике последовательность — это пронумерованный набор каких-либо объектов, среди которых допускаются повторения, причём порядок объектов имеет значение.

Числовая последовательность – это упорядоченный набор чисел. Члены последовательности удобно нумеровать натуральными числами. Последовательности могут быть конечными и бесконечными.

Последовательность мы можем задать несколькими способами:

1. словесно (описать ее члены, например: последовательность четных натуральных чисел);
2. аналитически (задать формулу n-го члена как функцию натурального аргумента);
3. рекуррентно (задать несколько первых членов и выразить каждый следующий член через один или несколько предыдущих).

Частные случаи последовательностей – арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметическая и геометрическая прогрессии тесно связаны между собой.

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами.

Лекции и примеры с решением:

1. Числовая последовательность и арифметическая прогрессия с примерами решения
2. Геометрическая прогрессия с примерами решения
3. Предел последовательности с примером решения
4. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия с примерами решения

Кстати, у меня ещё есть готовые решённые задачи по недорогим ценам, они размещены тут.

Основные формулы тригонометрии. Арксинус, арккосинус и арктангенс числа

Тригонометрия — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии.

Арксинус (arcsin) – это обратная тригонометрическая функция. Арксинус x определяется как функция, обратная к синусу x, при -1≤x≤1.

Арккосинус (arccos) – это обратная тригонометрическая функция. Арккосинус x определяется как функция, обратная к косинусу x, при -1≤x≤1.

Арктангенс (arctg или arctan) – это обратная тригонометрическая функция. Арктангенс x определяется как функция, обратная к тангенсу x, где x – любое число (x∈ℝ).

Лекции и примеры с решением:

1. Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла с примером решения
2. Зависимость между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом с примером решения
3. Четность, нечетность и периодичность тригонометрических функций с примером решения
4. Формулы двойного и тройного аргумента с примерами решения
5. Формулы понижения степени с примерами решения
6. Формулы приведения с примерами решения
7. Преобразование произведения синусов и косинусов в сумму с примером решения

Арксинус, арккосинус и арктангенс числа

Арксинус (arcsin) – это обратная тригонометрическая функция. Арксинус x определяется как функция, обратная к синусу x, при -1≤x≤1.

Арккосинус (arccos) – это обратная тригонометрическая функция. Арккосинус x определяется как функция, обратная к косинусу x, при -1≤x≤1.

Арктангенс (arctg или arctan) – это обратная тригонометрическая функция. Арктангенс x определяется как функция, обратная к тангенсу x, где x – любое число (x∈ℝ).

Лекции и примеры с решением:

1. Арксинус с примером решения
2. Арккосинус с примерами решения
3. Арктангенс с примерами решения

Числовые неравенства

Числовое неравенство – это неравенство, в записи которого по обе стороны от знака неравенства находятся числа или числовые выражения.

Лекция и примеры с решением:

• Числовые неравенства примеры с решением

Алгебраические уравнения

Алгебраическим уравнением называется уравнение вида P (x) = 0, где P (x)— многочлен с целыми (или рациональными) коэффициентами.

Лекции и примеры с решением:

1. Уравнение и его корни. Преобразование уравнений
2. Рациональные уравнения примеры с решением
3. Иррациональные уравнения примеры с решением

Показательные и логарифмические уравнения

Показательные уравнения — это уравнения в которых неизвестное содержится в показателе степени. Простейшее показательное уравнение имеет вид: ах = аb, где а> 0, а 1, х — неизвестное.

Логарифмические уравнения — это любое уравнение, которое сводится к виду log _a f(x) = k, где a > 0, a ≠ 1 — основание логарифма, f(x) — произвольная функция, k — некоторая постоянная.

Лекции и примеры с решением:

1. Показательные уравнения примеры с решением
2. Логарифмические уравнения примеры с решением

Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения — это уравнение вида sinx=a, cos x=a, tgx=a, где a — некоторое действительное число. Решаются тригонометрические уравнения они проще всего с помощью тригонометрического круга

Лекции и примеры с решением:

1. Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением
2. Решение уравнений с помощью введения вспомогательного угла, методом замены неизвестного и разложения на множители, с помощью формул понижения степени примеры с решением
3. Уравнения, решаемые с помощью оценки их левой и правой частей с примерами решения
4. Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Системы уравнений

Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Лекции и примеры с решением:

• Системы линейных уравнений с примерами решения

Системы алгебраических уравнений

Системы алгебраических уравнений — система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени.

В классическом варианте коэффициенты при переменных, свободные члены и неизвестные считаются вещественными числами, но все методы и результаты сохраняются (либо естественным образом обобщаются) на случай любых полей, например, комплексных чисел.

Решение систем алгебраических уравнений — одна из классических задач линейной алгебры, во многом определившая её объекты и методы. Кроме того, линейные алгебраические уравнения и методы их решения играют важную роль во многих прикладных направлениях, в том числе в линейном программировании, эконометрике.

Нелинейные системы уравнений с двумя неизвестными

Решение систем нелинейных уравнений — раздел математики в алгебре считается одним из трудных разделов, так как нет единых способов решения систем алгебраических уравнений, особенно, если речь идет о нелинейных системах уравнений. Так как школьники испытывают затруднения при выполнении такого типа заданий, то возникла идея составить рекомендации для старшеклассников по теме «Нелинейные системы уравнений».

Лекции и примеры с решением:

1. Однородные системы нелинейных уравнений примеры с решением
2. Симметрические системы примеры с решением
3. Решение других типов систем алгебраических систем уравнений
4. Иррациональные системы с двумя неизвестными с примерами решения
5. Алгебраические системы с тремя неизвестными с примерами решения

Задачи на составление и решение уравнений

На вступительных экзаменах в вузы часто предлагаются задачи на составление и решение уравнений. Для решения таких задач обычно требуется ввести неизвестные, записать условия задачи в виде уравнений, связывающих эти неизвестные, решить полученное уравнение или систему уравнений и произвести отбор решений по смыслу задач.

Лекции и примеры с решением:

1. Задачи на движение с примерами решения
2. Задачи на сплавы и смеси с примерами решения
3. Задачи на совместную работу с примерами решения

Системы показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений

При решении систем уравнений, содержащих неизвестные в показателе степени и в ее основании или под знаком логарифма и в его основании, применяются методы решения систем алгебраических уравнений, а также методы решения показательных и логарифмических уравнений.

Лекции и примеры с решением:

1. Примеры решения систем показательных уравнений
2. Примеры решения систем, содержащих логарифмы с постоянными основаниями
3. Примеры решения систем, содержащих логарифмы с переменными основаниями
4. Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Алгебраические неравенства

Алгебраические неравенства — это решение неравенств при которых значение переменной, обращается в это неравенство в верное числовое неравенство.

Алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой степени, второй степени и так далее. 

Метод решения алгебраических неравенств заключается в приведении их с помощью равносильных преобразований к системам или совокупностям легко решаемых рациональных неравенств или уравнений. 

Частным решением алгебраического неравенства называют значение переменной, при которой алгебраическое неравенство является верным числовым неравенством.

Общим решением алгебраического неравенства называют множество всех частных решений данного неравенства.

Решить алгебраическое неравенство — значит найти все его решения (и обосновать, что других решений нет) или доказать, что решений нет.

Неравенства называются равносильными, если они имеют одинаковые решения или решений не имеют.

При решении неравенства его заменяют более простым равносильным неравенством.

1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не меняя при этом знак неравенства.
2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не меняя при этом знак неравенства.
3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.

Лекция и примеры с решением:

• Алгебраические неравенства с примерами решения

Квадратный трехчлен и квадратные неравенства

Квадратный трехчлен и квадратные неравенства — это любое квадратное уравнение в котором заменён знак «=» (равно) на любой значок неравенства (> ≥ < ≤ ≠).

Лекция и примеры с решением:

• Квадратный трехчлен и квадратные неравенства с примерами решения

Рациональные неравенства. Метод интервалов

Рациональное неравенство – это неравенство с переменными, обе части которого есть рациональные выражения.

Метод интервалов – простой способ решения дробно-рациональных неравенств. Так называются неравенства, содержащие рациональные (или дробно-рациональные) выражения, зависящие от переменной.

Лекция и примеры с решением:

• Примеры решения рациональных неравенств

Расположение корней квадратного трехчлена на числовой оси

Решение многих задач с параметрами по математике, предлагаемых на экзаменах по математике, в частности, на ЕГЭ по математике, требует умения правильно формулировать необходимые и достаточные условия, соответствующие различным случаям расположения корней квадратного трёхчлена на числовой оси.

Лекция и примеры с решением:

• Расположение корней квадратного трехчлена на числовой оси с примерами решения

Иррациональные неравенства

Иррациональные неравенства – это переменная содержится под знаком корня. Иррациональное неравенство, как правило, сводится к равносильной системе (или совокупности систем) неравенств

Лекция и примеры с решением:

• Иррациональные неравенства с примерами решения

Показательные, логарифмические и тригонометрические неравенства

Показательные неравенства – это неравенства с переменной в показателе степени.

Логарифмические неравенства – это неравенства, содержащее переменную только под знаком логарифма: loga f(х) > logag(х).

Тригонометрические неравенства – это неравенства, которые содержат переменную под знаком тригонометрической функции.

Лекция и примеры с решением:

• Показательные неравенства с примерами решения

Логарифмические неравенства

Рассмотрены простейшие логарифмические неравенства, такого типа задания вполне можно встретить в качестве задания 15 на ЕГЭ по математике. При решении логарифмических неравенств очень важно не забывать про область допустимых значений аргумента.

Лекции и примеры с решением:

1. Логарифмические неравенства с постоянными основаниями с примерами решения
2. Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Тригонометрические неравенства

Решение тригонометрических неравенств зачастую сводится к решению простейших тригонометрических неравенств вида:  sinx<a sin⁡x<a,  cosx<a cos⁡x<a,  tgx<a tg⁡x<a,  ctgx<a ctg⁡x<a,  sinx>a sin⁡x>a,  cosx>a cos⁡x>a,  tgx>a tg⁡x>a,  ctgx>a ctg⁡x>a,  sinx≤a sin⁡x≤a,  cosx≤a cos⁡x≤a,  tgx≤a tg⁡x≤a,  ctgx≤a ctg⁡x≤a,  sinx≥a sin⁡x≥a,  cos≥a cos≥a,  tgx≥a tg⁡x≥a,  tgx≥a

Лекция и примеры с решением:

• Тригонометрические неравенства с примерами решения

Системы неравенств с двумя переменными

Система неравенств с двумя переменными – это система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное числовое неравенство.

Лекции и примеры с решением:

1. Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения
2. Пример решения линейных неравенств с двумя переменными

Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными

Система линейных уравнений и неравенств с двумя переменными – это неравенства вида ax+by≤()c, где и x и y — неизвестные переменные, а и a, b и c — некоторые числа, причем и a и b отличны от нуля.

Лекции и примеры с решением:

1. Системы линейных уравнений и неравенств с двумя переменными с примерами решения
2. Примеры решения уравнения, неравенства и системы неравенств с двумя переменными, содержащие знак модуля

Нелинейные системы неравенств с двумя переменными

Нелинейные системы неравенств с двумя переменными – это неравенства вида ах + bу + с<0 или ах + bу + с >0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.

Лекция и примеры с решением:

• Примеры решения нелинейных систем неравенств с двумя переменными

Возможно эти страницы вам будут полезны:

• Предмет математика
• Заказать работу по математике
• Помощь по математике

Множества и операции над ними

Множество может быть задано или перечислением всех своих элементов (если это конечное множество), или указанием определенного признака для элементов этого множества. Например, множество А = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, состоящее из шести элементов — натуральных чисел, задано перечислением всех элементов множества. Или множество М = задано перечислением трех геометрических фигур — элементов этого множества. Множество В = {2; 4; 6; …} всех четных чисел задано указанием признака для элементов этого множества.

То, что элемент а принадлежит множеству А, записывают так: а А. Знак принадлежности читают: «принадлежит». Если элемент b не принадлежит множеству А, то пишут b А. Например, если множество А = {3; 7; 11; 19}, то 7 А, но 5 А.

Для наглядности принято изображать элементы множества точками на плоскости. Например, множество А = {яблоко; кит; жук}

изображено на рис. 74, или проще на рис. 75, или совсем просто на рис. 76 (не отмечая элементов множества).

Пересечением двух множеств называется множество, состоящее из всех их общих элементов. Пресечение множеств А и В обозначается А В, знак читают: «пересечение».

Например, если множество А = {4; кот; }, а множество В = {жук; 7; кот; репа}, то = {кот}, т. е. множеству, состоящему из одного элемента —кота. На рис. 77 пересечение-множеств А и В заштриховано дважды.

Объединением двух множеств называется множество, состоящее из всех элементов, входящих хотя бы в одно из этих множеств. Объединение множеств А и В обозначается А В, знак читают: «объединение». Например, если А = {3; кит; яблоко; Солнце}, а В — {бык;

Солнце; 7; 3}, то AВ — {3; кит; яблоко; Солнце; бык; 7}. На рис. 77 вся заштрихованная фигура изображает множество AB.

Для некоторых множеств приняты стандартные обозначения: N={1; 2; 3; 4; …} — множество натуральных чисел; Z = {…; —2; — 1; 0; 1; 2; .’..} — множество целых чисел; Q — множество всех рациональных чисел (целые числа, положительные и отрицательные дроби); — пустое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного элемента; R — множество действительных чисел.

Подмножеством множества А называется множество В, каждый элемент которого принадлежит множеству А. Записывают это так: В А, что читается: «множество В содержится во множестве A» или «В содержится в A», или так: AВ, что читается: «множество А содержит множество В» или «A содержит В» (рис. 78). Например, NZ, ZQ, QR. Считается, что пустое множество есть подмножество любого множества.

Дополнением множества А до множества В (содержащего множество А) называется множество всех элементов множества В, не являющихся элементами множества Д. Например, дополнение N до Z есть множество отрицательных целых чисел и нуль, дополнение множества Q до множества R есть множество иррациональных чисел. На рис. 79 дополнение множества А до множества В заштриховано.

Правила арифметических действий

Любые два числа а и b можно сложить и перемножить. Их сумма обозначается а + b, числа а и b называются слагаемыми. Их произведение обозначается а*b или ab, числа а и b называются множителями. Например:
23,9 + 4,57 = 28,47; 3,71*25,4 = 94,234.

Разностью чисел а и b называется такое число с, что b + с — а. Эта разность обозначается а — b, так что с = а — b. Число а называется уменьшаемым, число b — вычитаемым. Вычитание из числа а числа b можно заменить сложением числа а с числом,противоположным b, которое обозначается (—b), например а — Ь = а + (—b). При этом а — а = а + (—а) = 0.

Частным чисел а и b 0 называется такое число с, что bс = а. Частное обозначается: а : b, или или а/b. Число а называется делимым, число b — делителем. Деление числа а на число b 0 можно заменить умножением числа а на число, обратное числу b, которое обозначается: или или При этом

Законы арифметических действий

1) переместительный: а + b = b + а и ab = bа;
2) сочетательный: а + (b + с) = (а + b) + с и a(bc) = (ab)c;
3) распределительный: а(b + с) = ab + ас,
4) свойства нуля: а + 0 = а — 0 = а, а*0 = 0, делить на 0 нельзя, а + (—а) = 0;
5) свойства единицы:

Примеры выполнения арифметических действий:
3,7 + 2,54 — 1,7 = 3,7 — 1,7 + 2,54 = 4,54;
3,6 (2,97: 1,8) = 2,97 (3,6 : 1,8) = 2,97 • 2 = 5,94;
2,57- 1,83 + 7,43 • 1,83 = (2,57 + 7,43) 1,83 = 10 • 1,83 = 18,3;
(5,5 : 0,9) — (3,7 : 0,9) = (5,5 — 3,7): 0,9 = 1,8 : 0,9 = 2.

Сложение, вычитание и умножение обычно выполняют «столбиком»:

При сложении и вычитании числа подписываются так, чтобы запятые были расположены друг под другом. Если одно число имеет после запятой меньше знаков, чем другое, то недостающие знаки заменяются нулями — их обычно не пишут. При умножении друг под другом располагают последние (правые) знаки. Умножают, сначала не обращая внимания на запятую. В конечном результате запятую ставят так, чтобы справа от нее было столько же вычисленных знаков (включая нули, полученные при умножении), сколько знаков во всех множителях вместе стоит справа от запятой. Например, в произведении 51,703•9,8041 справа от запятой надо отделить 3+4=7 знаков.

Деление обычно выполняется «уголком». При этом пользуются тем, что при умножении делимого и делителя на одно и то же число частное не меняется. Например найдем частное 16,422 : 4,6. Умножим и делимое и делитель на 10 (если бы делитель имел и сотые, то умножали бы на 100, если делитель справа от запятой имеет k знаков, то умножаем на , т. е. в делителе и делимом сдвигаем запятую на k мест вправо). После такого преобразования мы приходим к следующему равенству 16,422 : 4,6=164,22 : 46. Деление «уголком» выполняется следующим образом: берем первую цифру делимого, в данном случае это цифра 1, она меньше делителя, т. е. 1 < 46, добавляем следующую цифру делимого — получаем 16< 46, вновь добавляем следующую цифру делимого— получаем 164 > 46. Теперь подбираем целое число k так, чтобы выполнялось неравенство В нашем примере k = 3. Вычитаем произведение 3 • 46 = 138 из 164 — получаем первый остаток 26. «Сносим» следующую цифру делимого 2 — получаем 262. Так как снесенная цифра 2 стоит уже правее запятой, то после цифры 3 в частном ставим запятую. Подбор следующей цифры частного делаем так же, как и подбор 3, т. е. ищем такое число целое k, чтобы < (k + 1) • 46. Это число 5. Вычитаем из 262 произведение 5 • 45=230 — получаем второй остаток 32 и «сносим» к нему цифру делимого 2—получаем 322. Подбираем следующую цифру частного так же, как и первые: ищем такое целое число k, чтобы выполнялось неравенство Получается k — 7 и 7 • 46 = 322. При вычитании получается 0 — частное найдено и деление закончено, итак, мы нашли, что 16,422 : 4,6 = 3,57.

Иногда деление до конца не доводят, т. е. последний остаток р не равен нулю. Тогда говорят, что Деление проведено с остатком и получено неполное частное. Если делимое а, делитель b и с — неполное частное, то а = bс + р.

При умножении (делении) пользуются еще правилом знаков: произведение (частное) двух чисел одинаковых знаков есть число положительное, а разных знаков — отрицательное.

Делимость чисел

Делителем данного натурального числа называется натуральное число, на которое заданное число делится нацело. Например, число 12 имеет делители {1; 2; 3; 4; 6; 12}, число 8 имеет делители {1, 2; 4; 8}. Общими делителями для чисел 12 и 8 являются {1; 2; 4}.

Наибольшим общим делителем чисел а и b называется наибольший из их общих делителей, он обозначается D(a, b). Например, наибольший общий делитель чисел 12 и 8 есть D(12; 8) = 4.

Взаимно простыми называются числа а и b, если D(a,b) = 1. Число называется простым, если оно имеет только два делителя — себя и единицу. Вот несколько первых простых чисел: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; …

Кратным числа а называется любое число, для которого а есть делитель. Пересечение множеств чисел, кратных числу а и кратных числу 6, есть множество чисел — общих кратных чисел а и b. Наименьшее из чисел этого множества называется наименьшим общим кратным чисел а и b, оно обозначается К(а, b). Например, числа, кратные 8, образуют множество {8; 16; 24; 32; 40; …}, числа, кратные 12, образуют множество {12; 24; 36; 48; …}. Множество общих кратных чисел 8 и 12 есть пересечение указанных множеств и равно {24; 48; …}, так что К(8; 12) = 24.

Признаки делимости

Если каждое слагаемое суммы делится нацело на число а, то и вся сумма делится нацело на а. Например, 777 + 49 делится на 7, так как каждое слагаемое делится на 7.

Произведение делится на число а, если хотя бы один из множителей делится на а. Например, произведение 36*14*17 делится на 7, так как множитель 14 делится на 7.

Признак делимости на 2

Если число оканчивается четной цифрой, то оно делится на 2. Четные цифры: 0; 2; 4; 6; 8.

Признак делимости на 3

Если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3. Например, число 25 803 714 делится на 3, так как сумма его цифр 2+ 5+8+0+3+7+1 + 4 = 30 делится на 3, а число 76 458 103 не делится на 3, так как сумма его цифр 7 + 6 + 4 + 5 + 8 + 1 + 0 + 3 = 34 не делится на 3.

Признак делимости на 5

Если число оканчивается цифрой 5 или 0, то оно делится на 5.

Каждое число единственным образом раскладывается в произведение простых чисел. Это разложение проводят, последовательно деля заданное число и его последовательные частные на простые числа, начиная с первого: на 2, на 3, на 5, на 7 и т. д.
Например,

После того как числа разложены на простые множители, легко найти их наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Для нахождения наибольшего общего делителя берут все общие простые делители в наименьшей степени. Например, по приведенным выше разложениям Для нахождения наименьшего общего кратного достаточно взять одно из чисел и домножить его на недостающие множители. Например, К(4464; 315 000) = 315 000*2*31 = 19 530 000.

Обыкновенные дроби

Обыкновенной дробью или рациональным числом называется число вида где n — натуральное число, а m— целое число. Число n называется знаменателем дроби, а число m — числителем.

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель. Чтобы сложить (вычесть) дроби с одинаковыми знаменателями, складывают (вычитают) их числители, а знаменатель подписывают общий. Например;

Основное свойство дроби

Дробь не меняется, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на одной то же число: Этим пользуются при сравнении, сложении и вычитании дробей с разными знаменателями и для упрощения дробей. Прежде чем производить с такими дробями действия, находят наименьшее общее кратное их знаменателей — общий знаменатель. Числитель и знаменатель каждой дроби умножают на такое число — дополнительный множитель, чтобы знаменатель стал равен общему знаменателю. После «приведения дробей к общему знаменателю» действия с ними производят так, как это было описано выше.

Например, а) что больше: или ?

Если слагаемые больше единицы, то удобнее выделить целые части и их складывать (вычитать) отдельно. Например,

Произведением двух обыкновенных дробей называется дробь, числитель которой равен произведению числителей множителей, а знаменатель — произведению знаменателей. Например,

Частное двух обыкновенных дробей определяется как произведение делимого на дробь, обратную делителю. Например,

Если при умножении (делении) в числителе и знаменателе окажутся общие делители, то на них надо сократить. Например,

Если действия производят в выражении, содержащем как десятичные, так и обыкновенные дроби, то или все дроби обращают в десятичные, или все дроби обращают в обыкновенные (в зависимости от конкретного примера). Например,

а) что больше: 0,37 или 1/3?

При обращении обыкновенной дроби в десятичную «делением уголком» может случиться, что ни один из остатков не обращается в нуль. Тогда получается периодическая десятичная дробь, у которой одна или несколько цифр все время будет повторяться в одном и том же порядке. Например, при обращении 2/3 в десятичную дробь получается периодическая дробь, 0,6666666… Повторяющаяся группа цифр называется периодом и обычно записывается в скобках. Пишут:
0,(6) вместо 0,666666…
2,7(43) вместо 2,743434343…

Чтобы представить число а, заданное в виде периодической десятичной дроби, в виде обыкновенной удобно поступать следующим образом. Пусть а = 2,7(43). Тогда 1000а = 2743,(43) и 10а = 27,(43). Вычитая эти равенства почленно, получаем: 990а = 2716 и, следовательно, а = 2716/990. Ясно, что и в общем случае любая периодическая десятичная дробь обращается в обыкновенную, т. е. представляет рациональное число. Непериодические десятичные дроби представляют иррациональные числа. Примеры иррациональных чисел: или 0, 12122122212222… (после k-й единицы стоит k двоек — это непериодическая десятичная дробь и потому представляет иррациональное число). Объединение множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел есть множество действительных чисел R — их мы будем называть просто числами.

Степень

Степенью числа а с натуральным показателем n называется произведение n множителей, каждый из которых равен а:

Число а называется основанием степени, n — показателем степени, — степенью. По определению полагают, что и при Если целое число n< 0, то согласно определению при Если n> 1—натуральное число и то
степенью называется такое число что Это число b называется еще арифметическим корнем степени n из числа а и обозначается В математической литературе при нечетных n допускаются значения При этом полагают, что Для любого рационального числа где n — натуральное, m — целое, D(n,m) = 1, по определению полагают:

При этом считают, что при четном n.

Свойства степени

Свойства степени: для любых чисел р и q

Например,

Порядок выполнения арифметических действий

Если в выражении без скобок подряд стоят несколько чисел или алгебраических выражений, связанных действиями сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень, то действия производятся в следующем порядке: 1) возведение в степень, 2) умножение и деление (в порядке записи — слева направо), 3) сложение и вычитание (в порядке записи — слева направо). Вычислим, например, Сначала находим число Затем выполняем действия умножения и деления: b = 36 : 3 = 12, с = 2*4 = 8, d = а*5 : 4*7 = 8*5 : 4*7 = 40 : 4*7 =10*7 = 70. Затем выполняем сложение и вычитание: b — с + d = 12 — 8 +70 = 74. Заметим, что при вычислении d было бы удобнее переставить умножение на 5 и деление на 4, т. е.

Если в выражении стоят скобки, то сначала выполняются действия, указанные в скобках. Например, вычислим число а = (26— 19)*(46 — 39). Сначала вычисляем число b = 26— 19 = 7 и число с = 46 — 39 = 7, после чего находим произведение а = bс = 7*7 = 49.

Разберем еще пример:

Сначала производим действия, указанные в скобках, т. е. находим числа

После этого находим значение выражения, т. е. число
а = bс — е: g — 3 * 3 — 4:2 = 9 — 2 = 7.

Вычисление можно несколько видоизменить, числа b, с, е и g можно находить в любом порядке. При вычислении b можно было поступить так:

Если перед скобками стоит знак плюс, то скобки можно опустить. Например,

Если перед скобками стоит знак минус, то скобки тоже можно опустить, изменив на противоположный знак каждого слагаемого, заключенного в скобках. Например,

Пропорции и проценты

Пропорцией называется равенство вида где a, b, c,d — числа, причем и Эти числа называются членами пропорции: a и d — крайними, b и с — средними.

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов, т. е. ad = bс.

Процентом называется одна сотая часть числа. Для определения р процентов от числа N используют «формулу процентов»:

Пользуясь этой формулой, можно решить три задачи: 1) задано число N и его процент р — найти А; 2) задано число N и число А — сколько процентов р от числа N составляет А ; 3) известно, что число А составляет р% от числа N — найти число N.

Покажем это на следующих примерах:
1) Найти 83% от числа 72. Здесь N = 72, р = 83. Подставляя эти значения в формулу, имеем

2) Число 91 составляет 65% от некоторого числа. Найти это число. Здесь А = 91, р = 65. Подставляя эти значения в формулу, получаем
откуда

Координатная прямая. Модуль числа

При изображении чисел на координатной прямой выбирают на прямой две точки — 0 и 1 (они изображают число 0 и число 1). Обычно прямую располагают горизонтально, а точку 1 — правее точки 0. Направление от 0 к 1 называется положительным, а противоположное направление — отрицательным. Отрезок с концами 0 и 1 считается единичным. Откладывая последовательно в положительном направлении на прямой единичный отрезок, получаем точки 2; 3; 4; …, которые изображают числа +2; +3; +4; … (рис. 80). Не говорят: «точка, изображающая число +3», а говорят короче: «точка +3».

Точка прямой, симметричная точке +3, относительно точки 0, изображает число —3, ее называют «точкой —3». Вообще точка, симметричная

точке k относительно 0 , изображает число —k и называется «точка —k» (рис. 80). Точки — k и k называются противоположными.

Аналогично изображаются и любые рациональные числа. Например, чтобы изобразить число—11/13, делят единичный отрезок на 13 конгруэнтных частей и 11 таких частей откладывают в отрицательном направлении от 0. Полученная точка (рис. 81) изображает число — 11/13 и называется «точка — 11/13».

Кроме рациональных чисел точки прямой изображают и иррациональные числа, т.е. числа, которые не могут быть записаны в виде дроби. Например, число выражает длину диагонали квадрата, сторона которого равна единичному отрезку. Построив на
единичном отрезке квадрат и проведя окружность радиуса ОА до пересечения с координатной прямой, получаем на прямой «точку » (рис. 82).

Для любого иррационального числа можно найти десятичное приближение с любой точностью.

Прямая, каждая точка которой изображает определенное число,называется координатной прямой. Число а, которое изображается точкой А, называется координатой этой точки А, пишут: А — М(а). Точка а и —а одинаково удалены от точки 0. Это расстояние называется модулем числа а и числа —а и обозначается |а| и |—а|, т. е. |а| = |—а|. Числа а и —а называются противоположными. Для модуля числа х справедливо равенство

Для любых двух чисел а и b

Из двух разных чисел одно больше и на числовой прямой оно расположено правее. Число 0 делит все числа на положительные, которые расположены на координатной прямой справа от 0, и отрицательные, которые расположены на координатной прямой слева от 0. Любое положительное число больше любого отрицательного.

Тождества. Тождественные преобразования

Выражения, содержащие переменные, принимают различные значения в зависимости от значений переменных. Значения выражений (содержащих переменные) при одних и тех же значениях переменных называются соответственными. Например, для выражений и 2х + 5 при х = = 0 соответственными значениями будут —1 и 5, а при х = 1 — 3 и 7.

Два выражения называются тождественно равными, если все их соответственные значения равны. Например, и х(х + 2) + 1; и Но выражение x+2 не тождественно равно выражению так как первое имеет смысл при любых значениях переменной, а второе — при Про эти выражения можно сказать, что они тождественно равны при Если же никаких оговорок не сделано, то принято считать, что тождественные выражения определены при одних и тех же значениях переменной.

Замена одного выражения другим, тождественно равным ему, называется тождественным преобразованием выражения.

Тождеством называется равенство двух тождественных выражений.
Приведем пример тождественных преобразований:

Таким образом, доказано тождество сокращенного умножения:

Аналогично доказываются и остальные тождества сокращенного умножения:

Многочлены

Произведение числового множителя на какие-либо степени переменных называются одночленом. Числовой множитель называется коэффициентом одночлена. Так — одночлен, — одночлен с коэффициентом 5.

В одночлене стандартного вида все одинаковые множители объединены и заменены соответствующими степенями. Сумма показателей степеней переменных называется степенью одночлена.

Пример. Приведем одночлен к стандартному виду

Получили одночлен с коэффициентом —15, его степень равна 7 + 4 = = 11.

Многочленом называется сумма одночленов. Многочлен обычно располагают по убывающим или возрастающим степеням переменной:

и т. п.

Выражения, представляющие собой сумму, разность и произведение многочленов, называются целыми алгебраическими выражениями. После тождественных преобразований они приводятся к многочленам.

Действия над многочленами подчиняются тем же правилам,что и действия с числами: произведение одночлена на многочлен равно сумме произведений одночлена на каждый член многочлена:

Произведение двух многочленов равно сумме произведений каждого члена одного многочлена на каждый член второго многочлена:

Разложить многочлен на множители — значит представить его в виде произведения многочленов или одночлена на многочлены. При этом используются следующие приемы:

1) Вынесение общего множителя:

2) Группировка:

3) Разложение квадратного трехчлена: + bх + с: если — его корни, то

Например, квадратный трехчлен имеет корни х = 2 и х = 4. следовательно , = (х — 2)*(х — 4); квадратный трехчлен имеет корни х = 2 и х = и потому

Корнем многочлена называется значение переменной, при котором многочлен принимает значение, равное нулю.

Уравнения и неравенства

Высказывания бывают истинные и ложные. Например, 2*2 = 4 и 3< 5 есть истинные высказывания, а 3 < 1 и 7 — 5 = 0 — ложные.

Если из высказывания А следует высказывание В, то пишут: А В, читается: «из А следует В»,— знак логического следования.

Если из высказывания А следует высказывание В, а из высказывания В следует высказывание А, то эти высказывания называются равносильными и пишут: А В, — знак равносильности, который читается: «равносильно».

Если в предложение с переменной подставить ее значения, то при одних значениях получится истинное высказывание, а при других — ложное. Например предложение с переменной будет истинным высказыванием при х = —1 и х = 3, так как и а при подстановке остальных значений переменной х получим ложные высказывания. Предложение с переменной х < 3 при подстановке значения х = 2 дает истинное высказывание, а при х = 5— ложное.

Равенство с переменной называется уравнением, если нужно найти значения переменной, при которых это равенство истинно. Примеры уравнений: Зх — 6 = 0,

Корнем или решением уравнения называется значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается истинное высказывание. Например, 2 есть корень уравнения Зх — 6 = 0, так как 3*2 — 6 = 0; 4 есть корень уравнения так как — 6*4+8 = 0

Решением неравенства называется значение переменной,при котором неравенство истинно. Например, для неравенства х + 5< 0 одним из решений будет число —6, так как —6 + 5<0. Все решения неравенства составляют множество его решений.

Решить неравенство (или уравнение) — значит найти множество его решений. Так, для уравнения Зх — 6 = 0 множество решений есть {2}; для неравенства х + 5 < 0 множество решений есть бесконечный промежуток

Уравнения (неравенства) называются равносильными, если множества их решений равны. Например, уравнения Зх — 6 = 0 и равносильны, так как множество их решений есть {2}.

При решении уравнений и неравенств пользуются следующими основными правилами и приемами:

1) К обеим частям уравнения (неравенства) можно прибавить одно и то же число — при этом получается равносильное уравнение (неравенство). Отсюда следует, что любые слагаемые (как числовые, так и буквенные) можно переносить из одной части уравнения (неравенства) в другую с переменой знака. Так, уравнение вида х + а = 0 можно решить, прибавляя к обеим его частям число —а:
х+а = 0х = — а.

2а) Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. Например,

2б) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число. Например,

2в) Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то смысл неравенства нужно изменить на противоположный. Например,

При помощи этих правил решается любое линейное уравнение (т. е. уравнение вида ах + b — 0, а 0) и линейное неравенство (т. е. неравенство вида ах + b < 0 или ах + b > 0. а 0).
Например

ответ: {2};
ответ:

Нередко пользуются и такими свойствами неравенств:

3) Транзитивность: a < b и b<c a<c.

4) Правило сложения (вычитания) неравенств:

т.е. неравенства одного смысла можно складывать, а противоположного — вычитать.

5) Правило умножения неравенств:

и следствие (для любого n>0).

Если ставится задача: найти все общие решения двух или нескольких неравенств, то говорят, что требуется решить систему неравенств. Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений, входящих в нее неравенств. Например,

Таким образом, множеством решений этой системы является промежуток (рис. 83).

Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных, обращающая это уравнение в истинное равенство. Например, для уравнения решением будет пара чисел х = 3, у = 4. Это решение коротко записывают (3; 4): на первом месте х, на втором — у. Для этого уравнения решениями будут также пары (5; 0), ( — 4; 3) и еще множество других пар.

Если ставится задача найти все общие решения для нескольких уравнений от нескольких переменных, то говорят, что требуется решить систему уравнений.

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое из уравнений системы в истинное равенство. Решить систему уравнений — значит найти множество ее решений.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

может иметь:
а) одно решение:
ответ: {(1; 2)};

б) бесконечно много решений:

ответ: {(х; Зх — 1)}, где х — любое число;

в) ни одного решения:

При решении систем линейных уравнений применяются способы:

1.Сложение (или исключение):

Ответ: {(3; 2)}.

2. Подстановка:

Ответ: {(3; 2)}.

3. Графический способ состоит в построении прямых, изображающих уравнения системы, тогда координаты точки их пересечения являются решением системы (рис. 84).

Квадратные уравнения

Уравнение вида

где а, b, и с — числа, называется квадратным уравнением. Корни квадратного уравнения могут быть найдены по формулам:

где называется дискриминантом квадратного уравнения. Если а = 1 и b — четное, то для решения удобнее формула

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень, если D < 0, то квадратное уравнение действительных корней не имеет.

Теорема Виета

Сумма корней квадратного уравнения равна -b\а, произведение его корней равно c\a: Верно и обратное утверждение, а именно: если числа удовлетворяют этим равенствам, то они есть корни квадратного уравнения + bх + с = 0.

Пример. Разложить на множители квадратный трехчлен

Решение:

Следовательно, имеем разложение: +

Уравнения степени выше первой можно решать или подбором, или введением новой переменной, или при помощи разложения на множители, или графически (см. функции и графики).

Примеры: 1) Решить уравнение
Разложим многочлен, стоящий в правой части, на множители:

Таким образом, уравнение приведено к виду (х — 1)*(х — 2)*(х + 2) = 0 и множество его решений {1; 2; —2}.

2) Решить уравнение

Обозначим тогда уравнение принимает вид — 3t — 4 = 0. Следовательно,

Ответ: {-3; -2; 2; 3}.

Уравнение вида называется биквадратным и решается введением новой переменной Например,

— полученное уравнение решений не
имеет. Множество решений биквадратного уравнения: {—1; 1}.

Функции и графики

Многие алгебраические факты можно истолковать наглядно, если воспользоваться методом координат на плоскости.

Возьмем на плоскости точку О и проведем через нее две взаимно перпендикулярные координатные прямые, для которых точка О есть начало отсчета. Одна из них называется осью абсцисс или осью Ох (ее обычно располагают горизонтально, а положительное направление на ней берут слева направо), а вторая — осью ординат или осью Оу (ее обычно располагают вертикально, а положительное направление на ней берут снизу вверх). Эта пара осей координат называется системой координат на плоскости, а точка О — началом координат (рис. 85).

Если на плоскости выбрана система координат, то положение точки на плоскости определяется парой чисел — координатами этой точки. Из точки М опускаются перпендикуляры на оси координат: Ох и Координата точки называется абсциссой точки М или координатой х и обозначается буквой х (рис. 86). Координата точки называется ординатой точки М или координатой у и обозначается буквой у. Если точка М имеет координаты х и у, то это записывают так: М(х; у) — число х ставят на первом месте, а число у — на втором. На рис. 86 имеем: М(3; 4), К = М9—2; 1).

Линейная функция у — kx + b

Графиком линейной функции служит прямая (рис. 87), пересекающая ось ординат в точке b, k = tga, где a — угол между прямой и осью Ох. Коэффициенты в уравнении прямой имеют названия: b — начальная ордината, k — угловой коэффициент. Важный частный случай линейной функции при b = 0, у = kx называется прямой пропорциональностью, график ее есть прямая, проходящая через начало координат (рис. 88).

С помощью графиков можно наглядно объяснить решения системы линейных уравнений и неравенств:

Каждое уравнение системы изображается на плоскости некоторой прямой (исключая особые — «вырожденные» случаи).

Если эти прямые пересекаются, то координаты точки пересечения есть решение системы. Поскольку две прямые пересекаются в одной точке, то в этом случае система имеет единственное решение (рис. 89).

Если прямые параллельны (рис. 90), то у них или нет общих точек, и система уравнений решения не имеет, или прямые совпадают (рис. 91), тогда система уравнений имеет бесконечно много решений — координаты каждой точки прямой есть решение этой системы уравнений.

Решение неравенства ах + by с есть полуплоскость, граница которой есть прямая ах + by = с (на рис. 92 изображено неравенство 2х + Зу 6). Решение системы неравенств есть пересечение соответствующих полуплоскостей (на рис. 93 изображено решение системы неравенств х + у 2 и 2х — у < 1, при этом прямая х + у = 2 изображена сплошной линией, так как соответствующее неравенство нестрогое — точки этой прямой принадлежат решению, а прямая 2х — у = 1 изображена пунктиром, так как соответствующее неравенство строгое, и точки этой прямой не принадлежат решению).

Квадратичная функция

Графиком этой квадратичной функции служит парабола подвергнутая параллельному переносу где Парабола изображена на рис. 94 и 95, начало координат — вершина

параболы, ось ординат — ее ось симметрии. На рис. 96 изображены параболы: параболы (3) и (4) симметричны относительно оси абсцисс. На рис. 97 изображена парабола которая получена при параллельном переносе параболы (пунктир).

Решение неравенства изображено на рис. 98, а неравенства — на рис. 99.

При решении квадратного неравенства находят корни квадратного трехчлена, представляют его в виде произведения и смотрят, какие из промежутков (здесь ) являются решением. Если квадратный трехчлен действительных корней не имеет, то неравенство или не имеет решения, или множество его решений есть все действительные числа.

Степенная функция задается формулой На рис. 88 приведены графики степенных функции при n = 1 и разных а. На рис. 94 — 96 приведены графики степенных функция при n = 2 и разных а.

На рис. 100 приведен график степенной функции для n = —1 при а > 0 и при a < 0 — на рис. 101. График этой функции называется гиперболой, а сама функция — обратной пропорциональностью. На рис. 102—104 при а — 1 приведены графики некоторых других степенных функций. При целых показателях n степенная функция четная, если n четное, и нечетная, если показатель n нечетный.

На интервале степенная функция (при а > 0) возрастает при n > 0 и убывает при n < 0.

Последовательности

Последовательностью называется функция, заданная на множестве натуральных чисел. Значение этой функции f(n) обозначают еще и т. п. и называют n-м членом последовательности.

Если последовательность задана только на множестве первых n натуральных чисел, то последовательность называется конечной и записывается так: Последовательность называется возрастающей, если и убывающей, если (при всех n). Все способы задания функции относятся и к последовательностям. График последовательности состоит из отдельных точек. Члены последовательности можно изображать на прямой (рис. 105). Задавать последовательности можно рекуррентным способом, т. е. формулой, выражающей через предыдущие члены последовательности, например

Арифметической прогрессией называется последовательность, задаваемая формулой число d называется разностью арифметической прогрессии, при этом Для суммы n первых членов арифметической прогрессии известны формулы:

Геометрической прогрессией называется последовательность, задаваемая формулой число q называется знаменателем прогрессии, при этом Для суммы n первых членов геометрической прогрессии при известны формулы:

Приближенные вычисления

Погрешностью приближенного значения а числа х называется разность х — а = . Если то говорят, что а есть приближенное значение числа х с точностью до h, и записывают это так: Относительной погрешностью приближенного значения а для числа х называется

Цифра а называется верной, если модуль погрешности данного приближения не превосходит единицы того разряда, в котором записана цифра а.

Правила округления

Если в округляемом разряде стоят цифры 0; 1; 2; 3; 4, то их отбрасывают, т. е. число округляется с недостатком. Если в округляемом разряде стоят цифры 5; 6; 7; 8; 9, то в предыдущий разряд добавляется единица, т. е. число округляется с избытком. При округлении результатов вычислений погрешность округления не превосходит половины единицы того разряда, до которого ведется округление.

Правила сложения и вычитания приближенных слагаемых

Правила сложения и вычитания приближенных слагаемых:

1. Выделить наименее точное слагаемое, т. е. такое, в котором имеется наименьшее число верных десятичных знаков.

2. Округлить все остальные слагаемые так, чтобы каждое из них имело на один десятичный знак больше, чем выделенное.

3. Округлить ответ на один знак.

Пример. Вычислить сумму трех чисел, в записи которых все десятичные знаки — верные: 0,6; 0,423; 0,286.
Решение. 1. Выделяем слагаемое с наименьшим числом верных десятичных знаков: 0,6 (один десятичный знак).

2. Округляем остальные слагаемые до двух десятичных знаков: и находим сумму приближенных значений этих трех чисел:

3. Округляем ответ на один знак:

Правила умножения и деления приближенных чисел

Правила умножения и деления приближенных чисел:

1.Выделить множитель с наименьшим числом значащих цифр (значащими цифрами числа, записанного в виде десятичной дроби, называют все его цифры начиная с первой слева, отличной от 0).

2.Округлить все остальные множители так, чтобы каждое из них имело на одну значащую цифру больше.

3.Сохранить в результате столько значащих цифр, сколько их в выделенном сомножителе.

Пример. Вычислить произведение двух чисел, в записи которых все десятичные знаки — верные: 0,2743*0,72.
Решение. 1. Выделяем множитель с наименьшим числом верных значащих цифр: 0,72 (две верных значащих цифры).

2.Округляем второй множитель до трех значащих цифр: 0,274.

3.В полученном произведении 0,274*0,72 = 0,19728 сохраняем две значащие цифры, т. е. произведение

Примечание. Если полученный результат промежуточный, то в нем сохраняют на одну цифру больше.

При возведении в степень сохраняют столько значащих цифр, сколько их в основании степени.

Производная, дифференциал, интеграл и их применение в математике

Производная

Определение:

Возьмем какую-нибудь функцию, например ( есть функция аргумента х, так как каждому значению х соответствует определенное значение выражения ).

Дадим аргументу х некоторое произвольное приращение h (положительное или отрицательное). Тогда вместо выражения появится выражение .

Выражение называется наращенным значением функции .

Разность же называется приращением функции .

Рассмотрим отношение приращения функции к приращению аргумента, т. е. дробь

Величина этой дроби зависит и от величины х, и от величины h. Например, при х = 2 и h= 0,1 значение дроби равно 4,1; при x = 3 и h=0,01 величина этой дроби равна 6,01 и т. д.

Если теперь мы станем приближать величину h неограниченно к нулю, то числитель и знаменатель дроби

станут одновременно приближаться неограниченно также к нулю. При этом величина самой дроби будет как-то изменяться.

Характер этого изменения мы не можем обнаружить, если ограничимся лишь рассмотрением отношения

Если же сделаем следующие преобразования

то увидим, что при выражение 2х + h, а следовательно, и дробь неограниченно приближаются к выражению 2x.

Таким образом,

Выражение 2x представляет собой новую функцию, которая получилась из исходной функции с помощью определенного процесса. Этот процесс заключался в вычислении предела отношения приращения функции к приращению аргумента х при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Полученная с помощью такого процесса функция 2х называется производной от функции .

Процесс нахождения производной является новым математическим действием. Это действие обозначается поставленным над данной функцией знаком штрих (‘).

Например, чтобы указать, что 2х есть производная функции , пишут так:

Производной от данной функции называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Примеры.

1. Найти производную функции

Решение.

Значит,

2.Найти производную функции

Решение.

Значит,

3. Найти производную функции , где п — целое положительное число.

Решение.

Значит,

3. Найти производную функции In x.

Решение.

Примечание. так как есть величина бесконечно малая, a есть величина, обратная этой бесконечно малой.

Найти производную функции sin х.

Решение.

Значит,

Подобным же образом можно вывести производные и других функций. Не останавливаясь на этих выводах, приведем таблицу производных основных функций.

Таблица производных

Заметим, что производными обратных тригонометрических функций служат функции алгебраические, а производными тригонометрических функций — функции тригонометрические.

Производная от какой угодно функции у = f(x) обозначается у’ или f'(x) Cледовательно,

Здесь h есть приращение аргумента х, а разность f(x + h) — f(x) есть соответствующее приращение функции f(x).

Если если же и т.д.

Общие правила составления производных

1. Производная суммы равна сумме производных.

Доказательство.

Пример:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Доказательство.

Примеры.

3. Производная произведения двух функций равна первой функции, умноженной на производную второй, плюс вторая функция, умноженная на производную первой.

Доказательство.

Пример.

4. Производная дроби равна произведению знаменателя на производную числителя, минус произведение числителя на производную знаменателя, все разделен-ное на квадрат знаменателя.

Доказательство.

Примеры.

5. Производная постоянной величины равна нулю.

Постоянную величину всегда можно рассматривать как функцию любого аргумента, но лишь такую, которая сохраняет одно и то же значение при любых значениях аргумента. Например, функция сохраняет неизменное значение при всех значениях аргумента х. (Те значения аргумента х, при которых tg х или ctg х обращаются в бесконечность, здесь исключаются.)

Пользуясь уже известными нам правилами, найдем производную от этой функции:

Итак, производная от функции сохраняющей неизменное значение, равна нулю.

Функция, сохраняющая неизменное значение, является постоянной величиной. Поэтому для краткости употребляется термин «производная постоянной величины».

Тот факт, что производная постоянной величины равна нулю, легко доказать в общем виде. Действительно, если функция сохраняет неизменное значение при всех значениях аргумента, то ее приращение всегда будет равно нулю. Но

Поэтому и

Примеры.

Во всех предыдущих примерах мы обозначали аргумент буквой х. Но это вовсе не обязательно. Аргумент можно обозначать и любой другой буквой. Например,

В том случае, когда функция обозначена какой-нибудь буквой, например буквой z, ее производная обозначается символом z’.

Например, если то

Если то Если то

Производная функции от функции

Пусть и u = sin х.

Если рассматривать отдельно равенство , то можно считать аргументом u, а функцией у. В этом случае производная от величины у по аргументу u выразится так:

Мы здесь вместо обычного обозначения у’ применили обозначение Это мы сделали для того, чтобы в дальнейшем не перепутать между собой эту производную с другой производной, которая у нас еще появится.

Если рассматривать отдельно равенство u = sin x, то можно считать аргументом х, а функцией u.

В этом случае производная от величины и по аргументу х выразится так:

Теперь станем рассматривать равенства в их связи друг с другом. Очевидно, что каждому значению аргумента х будет соответствовать определенное значение u, а полученному значению u будет соответствовать определенное значение у. Следовательно, мы можем рассматривать величину у не только как функцию величины u, но и как функцию аргумента х.

При такой постановке вопроса возникает задача найти производную от величины у по аргументу х.

Придадим аргументу х приращение h, тогда величина и получит некоторое приращение а после этого и величина у получит некоторое свое приращение

По определению производной

Но

Поэтому

Но

Поэтому

Значит,

Приведенные рассуждения применимы и к другим функциям. Например, если

то

Если

то

Пусть требуется найти производную функции Приняв u=sin х, получим Отсюда

Следовательно,

Механическая интерпретация производной

Известно, что функция

выражает путь, пройденный при свободном падении (см. стр. 399). Придадим аргументу t приращение h. Тогда приращение функции окажется равным

Отношение есть средняя скорость на промежутке времени от момента t до момента t + h. Скоростью же в момент t мы называем тот предел, к которому стремится эта дробь при Но этот предел по определению, данному выше, как раз есть производная функция .

Таким образом, оказывается, что производная от функции, выражающей пройденный путь при прямолинейном движении, выражает скорость этого движения. В этом и заключается механический смысл производной. Вычислив

(см. стр. 402), найдем формулу скорости движения

где gt есть как раз производная функции

Эту производную можно было получить и так:

Кратко говорят: Производная от пути по времени есть скорость.

Примеры.

1. При равномерно ускоренном прямолинейном движении пройденный путь в зависимости от времени t выражается функцией

где и а — величины постоянные и а > 0. Найти скорость v этого движения.

Решение.

Итак,

2. Пройденный путь в зависимости от времени t выражается функцией где а и b — постоянные. Найти скорость движения.

Решение.

Итак,

Геометрическая интерпретация производной

К кривой PQ проведена секущая А В через две ее точки М и (рис. 209).

Оставляя точку М неподвижной, вообразим, что точка движется по кривой, неограниченно приближаясь к М. Тогда секущая АВ станет поворачиваться вокруг неподвижной точки М, стремясь к предельному положению Это предельное положение секущей называется касательной к кривой в точке М.

Определение. Касательной к данной кривой в данной на ней точке М называется предельное положение секущей, проходящей через данную точку М и через другую точку кривой, при условии, что точка приближается по кривой неограниченно к неподвижной точке М.

Кратко можно говорить так: касательной называется предельное положение секущей.

Условимся называть тангенс угла между осью и касательной к кривой угловым коэффициентом касательной.

Задача. Найти угловой коэффициент касательной к кривой

в произвольно взятой на ней точке (рис. 211).

Возьмем на кривой точку и проведем Тогда

Проведем секущую и обозначим буквой угол между осью ОХ и этой секущей. Очевидно, что

Если теперь мы станем приближать точку по кривой к точке то секущая станет поворачиваться вокруг неподвижной точки М, стремясь к положению касательной АВ. При этом h будет стремиться к нулю, а величина к величине ( есть угол между касательной и осью ). Значит,

Но последний предел есть производная функции Следовательно,

т. е. угловой коэффициент касательной равен производной функции которой определяется данная кривая.

Эти рассуждения применимы и ко всякой другой кривой. Например, угловой коэффициент касательной к кривой равен:

Угловой коэффициент в точке будет равен , т.е. .

Угловой коэффициент касательной к кривой у = sin х будет:

Угловой коэффициент касательной в точке будет (рис. 212).

Итак, числовое значение производной при х = а равно угловому коэффициенту касательной, проведенной в той точке кривой, абсцисса которой равна а.

Задача о нахождении скорости неравномерного движения и задача о проведении касательной к кривой как раз и были теми задачами, решение которых и привело исторически’к возникновению понятия производной.

Приведем еще несколько примеров, разъясняющих смысл производной.

1. При неравномерном прямолинейном движении скорость есть функция времени. Обозначим приращение времени буквой h, а приращение скорости буквой Тогда будет среднее ускорение, a будет ускорение.

Таким образом, производная от скорости по времени есть ускорение.

2. Количество электричества, протекшее через поперечное сечение цепи, есть функция времени. Обозначим приращение времени буквой h, а приращение количества протекшего электричества буквой Тогда будет средней силой тока, a будет силой тока.

Таким образом, производная от количества протекшего электричества по времени есть сила тока.

С помощью производной решаются многочисленные разнообразные задачи.

С помощью производной осуществляется исследование характера изменения функции, строятся графики функций с учетом всех особенностей получаемых кривых линий.

С помощью производной изучается характер кривизны любой кривой.

С помощью производной произвольные функции изображаются степенными рядами. Например,

Производная дает общий метод решения задач о наибольших и наименьших значениях величин и т. д. и т. д.

Все такие применения производной излагаются в учебниках по дифференциальному исчислению. Нахождение производной называется дифференцированием.

Вывод формул с помощью дифференцирования

Формула бинома Ньютона

Выражение , где п — целое положительное число, есть краткое изображение следующего произведения

которое состоит из п одинаковых множителей.

Раскрыв скобки в этом произведении, получим многочлен п-й степени относительно х. Поэтому

Задача заключается в том, чтобы определить коэффициенты

Полагая в тождестве (1) х = 0, найдем, что . Дифференцируя левую и правую части тождества (1), получим:

Полагая и здесь х = 0, найдем, что

Дифференцируя левую и правую части тождества (2), получим:

Полагая опять х = 0, найдем, что

Продолжая этот процесс, найдем, что

Итак,

Найдем разложение для

или

Другие формулы

С помощью дгфференцирования можно получить и многие другие формулы.

Например, найдем следующую сумму:

Пользуясь формулой суммы членов геометрической прогрессии, получим:

Дифференцируя, найдем:

Найдем еще следующую сумму:

Пользуясь формулой суммы членов геометрической прогрессии, получим:

Дифференцируя, найдем, что

С помощью дифференцирования можно получить, например, формулу косинуса двойного угла, исходя из формулы синуса двойного угла. Действительно,

С помощью дифференцирования можно из уравнения движения получить формулу скорости. Например,

Следовательно,

где v — скорость.

Дифференциал

Определение:

Если движение совершается по закону

то скорость в момент t выражается формулой v = gt

(см. стр. 700).

Из этой формулы видно, что скорость движения меняется с течением времени. В каждый новый момент времени она становится новой.

Возьмем скорость в момент t и вообразим, что начиная с этого момента тело стало двигаться равномерно с приобретенной к этому моменту скоростью gt. При этих условиях тело пройдет за промежуток времени с момента t до момента t + h расстояние

gth.

Но gt есть S’. Поэтому вместо выражения gth можно написать

S’•h.

Еще раз обратим внимание на то, что S’•h выражает собой то расстояние, которое тело прошло бы за промежуток времени с момента t до момента t + h, если бы наше неравномерное движение превратилось бы с момента t в движение равномерное. Вот этот прирост пути S’•h называется дифференциалом пути и обозначается символом dS. Таким образом,

Здесь S’ есть производная, а h есть приращение аргумента t.

Действительное расстояние, пройденное телом за промежуток времени с момента t до момента t + h, при нашем неравномерном движении будет равно

Это расстояние называется приращением пути и обозначается символом . Итак,

Отсюда ясно, что dS и — это разные понятия, разные величины.

есть настоящее, действительное приращение пути, a dS есть не настоящее, а такое, которое получилось бы, если неравномерное движение заменить с момента t движением равномерным, происходящим со скоростью, приобретенной к моменту t.

Но dS есть, как было показано выше, произведение производной на приращение аргумента.

Отсюда мы приходим к следующему определению:

Дифференциалом функции называется произведение производной на произвольное приращение аргумента.

Например, если то

Здесь h есть произвольное приращение аргумента х.

Значение дифференциала зависит от значения аргумента х и от значения приращения h.

Из формулы

при х = 5 и h = 0,1 мы получим, что

Теперь составим еще и приращение функции

при х = 5 и h = 0,1

Итак, оказалось, что

Дифференциал функции у=х

Оказалось, что dx = h. Пользуясь этим, мы можем формулу дифференциала, например записать в следующем виде:

Примеры.

Инвариантность формулы дифференциала

Пусть где u — аргумент. Тогда по определению дифференциала

Здесь du представляет собой произвольное приращение аргумента u.

Пусть теперь

Рассматривая здесь у как функцию аргумента х и пользуясь определением дифференциала, получим:

Здесь dx есть произвольное приращение аргумента х. Но так как то мы можем переписать равенство

в следующем виде:

Выражение du в формуле (В) уже не приращение функции u, а ее дифференциал.

Мы получили очень важный результат. Формулы (А) и (В) имеют один и тот же вид, т. е. формула дифференциала

верна и в том случае, когда u есть аргумент, и в том случае, когда величина u сама есть функция какого-либо другого аргумента. Вот это свойство и называется инвариантностью формулы дифференциала.

Значит, если у = tg u, то запись будет верной и тогда, когда u является аргументом, и тогда, когда u есть функция какого-либо аргумента (например,

Формула же производной не является инвариантной. Действительно, если и при этом u есть аргумент, то мы имеем формулу

Если же и то мы имеем формулу

Формулы (I) и (II) имеют различный вид.

Нахождение производной или дифференциала функции называется дифференцированием функции.

Интеграл

Неопределенный интеграл

Мы уже знаем, что такое производная и что такое дифференциал данной функции. Например, если

Если

Теперь поставим обратную задачу.

Пусть мы знаем, что производная некоторой функции равна и спрашиваем себя, какой же должна быть в таком случае эта некоторая функция. Этой искомой функцией будет выражение

где С — любое постоянное число. Действительно,

Функцию, производная которой равна, например,

Примем к сведению без доказательства, что никакой другой функции, кроме tg х + С, производная которой равнялась бы не существует.

Для иллюстрации напишем несколько неопределенных интегралов:

Знак называется знаком неопределенного интеграла. Выражение, написанное под знаком неопределенного интеграла, называется подынтегральным выражением.

Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал той функции, которую требуется отыскать.

Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования, достаточно вычислить дифференциал полученного результата. Если этот дифференциал окажется равным подынтегральному выражению, то это будет означать, что интегрирование выполнено правильно.

Например,

Значит, формула

написана правильно.

Действие отыскания неизвестной функции по данному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием потому, что в результате этого действия получается не одна функция, а бесконечно много функций. Например,

где С — произвольная постоянная.

Значит, имеется бесконечно много таких функций, дифференциал которых равен Такими функциями будут, скажем,

Все эти функции отличаются друг от друга лишь на постоянную величину.

Способы отыскания неизвестной функции по данному ее дифференциалу, т. е. способы неопределенного интегрирования, здесь не излагаются. Эти способы излагаются в учебниках по интегральному исчислению.

Определенный интеграл

Пусть нам дана какая-нибудь функция, например , и отрезок числовой оси от точки до точки (рис. 213).

Разобьем отрезок произвольным образом на п частичных отрезке с помощью точек На каждом частичном отрезке возьмем произвольным образом по одной точке . Точки назовем опорными точками.

Теперь напишем такую сумму:

Эта сумма составлена следующим образом: значения данной функции , взятые в опорных точках, умножены на длины соответствующих частичных отрезков и все полученные суммы сложены.

Сумма (А) называется интегральной суммой, составленной для функции на отрезке .

Если вместо функции мы возьмем какую-нибудь другую функцию, например то, написав выражение

получим интегральную сумму,, составленную для функции Таким образом, можно составить интегральную сумму и для любой другой функции.

Величина интегральной суммы зависит от многих обстоятельств. Она зависит:

1) от выбора данной функции;
2) от выбора чисел
3) от способа разбиения первоначального отрезка на частичные отрезки и, наконец,
4) от выбора опорных точек .

Вообразим, что число частичных отрезков, т. е. число п, неограниченно возрастает и разбиение на частичные отрезки происходит так, что длина наибольшего частичного отрезка стремится к нулю. При этих условиях интегральная сумма будет стремиться к определенному пределу, зависящему только от выбора данной функции и от выбора чисел . (Конечно, во время всего этого процесса остаются неизменными.)

Этот предел не зависит от способа разбиения первоначального отрезка на частичные и не зависит от выбора опорных точек.

Этот предел называется определенным интегралом и обозначается кратко символом

где у обозначает ту функцию, для которой составлена интегральная сумма. Символ читается так: «Определенный интеграл от выражения ydx в пределах от до ».

Пример:

Выражение обозначает длину наибольшего частичного отрезка.

Выражение читается так: «максимум длины».

Прн условии, что длина наибольшего частичного отрезка стремится к нулю, неизбежно окажется, что число п, т. е. число частичных отрезков, стремится к бесконечности.

Поэтому у знака lim нет необходимости писать еще и то, что .

Приведем еще один пример предела интегральной суммы и его краткое обозначение:

Существует очень много важных задач, решение которых представляется в форме предела интегральной суммы. Но прямое вычисление пределов интегральных сумм является делом чрезвычайно трудным, выполнимым лишь в некоторых простых случаях, да и то путем применения весьма хитрых искусственных приемов. С помощью искусственных приемов некоторые нз таких пределов были вычислены еще Архимедом, не знавшим никакого интегрального исчисления. (Дифференциальное н интегральное исчисление возникли впервые лишь в XVII веке.)

Ньютон н Лейбниц впервые обнаружили, что между пределом интегральной суммы и неопределенным интегралом существует тесная связь. Они показали, что предел интегральной суммы, например, составленной для функции на отрезке , можно вычислить следующим образом.

Сначала надо найтн какую-нибудь одну функцию, производная которой равна . За такую функцию можно взять, скажем,

После этого надо составить разность значений найденной функции при т. е. написать

Эта разность будет представлять собой точное значение предела следующей интегральной суммы:

при

Но поскольку этот предел, как уже отмечалось, обозначается символом мы получим, что

Таким же способом можно находить и пределы других интегральных сумм, например, суммы

Эта сумма составлена для функции Сначала найдем одну такую функцию, производная которой равна т. е. выполним неопределенное интегрирование:

Теперь составим разность значений этой функции:

или

По данному выше определению символ, например, обозначает предел следующей интегральной суммы:

Символ , как уже отмечалось, называется определенным интегралом и читается так: определенный интеграл от выражения cos xdx в пределах от до . Очевидно, что

так как sin x есть такая функция, производная которой равна

cos х.

Для удобства записи условимся разность, например, sin — sin обозначать символом Тогда предыдущее равенство можно было записать так:

Примеры вычисления определенных интегралов:

Доказательство данного Ньютоном и Лейбницем способа вычисления пределов интегральных сумм излагается в учебниках по интегральному исчислению.

Вычисление площадей с помощью интегрирования

1. Найти площадь, ограниченную осью ОХ, кривой и прямыми АВ и CD, параллельными оси (рис. 214).

Фигура ABCD называется., криволинейной трапецией. Разобьем отрезок на п частичных отрезков с помощью точек Через эти точки проведем прямые, параллельные оси . На частичных отрезках выберем произвольным образом опорные точки и проведем через них также прямые, параллельные оси . Величины отрезков этих вертикалей соответственно равны:

Тогда интегральная сумма

будет приближенным значением площади криволинейной трапеции ABCD. Это значение будет тем точнее, чем меньше будут длины каждого из частичных отрезков.

За истинную, т. е. точную, площадь криволинейной трапеции естественно принять предел написанной выше интегральной суммы при условии, что п стремится к бесконечности и длины всех частичных отрезков стремятся к нулю. Следовательно, площадь криволинейной трапеции ABCD равна

Но этот предел есть следующий определенный интеграл:

Итак, оказалось, что площадь s данной криволинейной трапеции определяется формулой

Если взять то получим, что

Аналогично площадь s заштрихованной криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой у = sin х (рис. 215), выразится формулой

При получим, что

Значит, площадь фигуры, ограниченной осью ОХ и одной полуволной синусоиды, равна 2 кв. ед.

2. Найти площадь фигуры, заключенной между параболами (рис. 216).

Сначала найдем точки пересечения данных парабол. Для этого решим систему:

Подставив в 1 -е уравнение вместо х выражение, взятое из второго уравнения, получим:

При у = 0 получим х = 0. При у = 1 получим х = 1.

Итак, получилось две точки пересечения: 0 (0, 0) и А (1; 1). Площадь фигуры ОmАnО равна разности площадей криволинейных трапеций ОmАВ и ОпАВ.

Но площадь трапеции ОmАВ равна а площадь трапеции ОпАВ равна Следовательно, искомая площадь s определяется формулой

Значит,

С помощью интегрирования можно вычислять длины дуг кривых линий, объемы тел, ограниченных кривыми поверхностями, площади кривых поверхностей.

С помощью интегрирования можно находить центры тяжести плоских фигур или тел, ограниченных произвольными поверхностями, и т. д.

Интегралы широко применяются для решения практических задач, о чем подробно говорится в учебниках по интегральному исчислению.

Запись дифференциала и интеграла с помощью функционального знака

Пользуясь функциональным знаком, мы можем записать определения дифференциала, неопределенного интеграла и определенного интеграла в общем виде.

Пусть у = f(x), тогда

Формулу Ньютона —Лейбница можно записать теперь так:

где

О выражениях

Возьмем произвольную функцию у = f(x). Тогда выражение f'(x), как нам уже известно, означает производную этой функции.

Под выражением же f'(а), где а — постоянное число, принято понимать значение выражения f'(x) при х = а.

Примеры.

Если

Если

Итак, если дана какая-нибудь функция f(x) и мы хотим найти f'(a), то должны для этого выполнить следующие две операции:

1) Найти f'(x), т. е. производную от функции f(x).

2) В полученную производную f'(x) подставить вместо независимой переменной число а.

Символ f(a) называется значением производной от функции f(x) при х=а.

Теперь разъясним смысл символа [f(a)]’, где а есть постоянное число.

Выражение [f(a)]’, где а есть постоянное число, всегда равно нулю. Действительно, f(а) есть величина постоянная, а производная от постоянной величины равна нулю. Значит,

Таким образом, следует различать смысл символов

в которых буква а обозначает постоянное число.

Пусть

Тогда

Максимум и минимум функции

Пусть кривая MABCDE есть график функции у = f (x) (рис. 217) и пусть в точках А, В, С, D, Е с абсциссами, равными соответственно а, b, с, d, е, проведены к этой кривой касательные.

Касательная в точке А составляет с положительным направлением оси острый угол. Касательная в точке С составляет с положительным направлением оси тупой угол. Касательные же в точках В, D, E параллельны оси т. е. составляют с ней угол, равный нулю.

Из геометрических наглядных представлений видно, что функция в точках А и Е является возрастающей, в точке С — убывающей, а в точках В, D — ни возрастающей, ни убывающей.

В точке В функция переходит от возрастания к убыванию. В точке О, наоборот, — от убывания к возрастанию.

Значение функции, соответствующее точке В, больше, чем ее значения, соответствующие точкам, близлежащим к точке В, слева и справа.

Значение функции, определяющее такую точку, как В, называется максимумом функции.

Значение функции, определяющее такую точку, как D, называется минимумом функции.

Пользуясь геометрическим значением производной (см. § 1, п. 5), можно записать, что

Значение функции f(x), соответствующее точке х= b, называется максимумом этой функции.

Значение функции f(x), соответствующее точке х = d, называется минимумом этой функции.

Значение функции f(x), соответствующее точке х = е, не является ни максимумом, ни минимумом этой функции.

Отсюда мы можем сделать следующие выводы:

1. Если при х = b f'(x) = 0 и если слева от точки х = b в непосредственной близи к ней f'(x) > 0, a справа f'(x) < 0, то в точке х = b функция f(x) имеет максимум.
2. Если при х = d f'(x) = 0 и слева (от точки d) f'(x) < 0, а справа (от точки d) f'(x) > 0, то функция f(x) в точке х = d имеет минимум.
3. Если при х = е f'(x) = 0 и при этом слева и справа f'(x) сохраняет один и тот же знак, то в точке х = е не будет ни максимума, ни минимума.

Примеры

1. Найти те значения аргумента х, при которых функция у = имеет максимум или минимум.

Сначала найдем производную от данной функции. Искомая производная будет:

Затем найдем корни производной, т. е. те значения х, при которых производная равна нулю.

Для этого приравняем производную нулю и решим полученное уравнение

2х = 0.

Отсюда видно, что производная в данном случае имеет лишь один корень, равный нулю.

Теперь исследуем знак производной, т. е. знак функции 2х слева и справа от точки х = 0.

Следовательно, данная функция у = имеет только один минимум при х = 0.

Минимальное значение функции у = , т. е. ее значение при х = 0, будет также равно нулю.

2. Исследовать на максимум и минимум функцию

Производная не меняет знака.

Следовательно, функция не имеет ни одного максимума и ни одного минимума.

3. Исследовать на максимум и минимум функцию

Производная имеет следующие корни:

a) При при (см. замечание, сделанное ниже).

Следовательно, при х = 1 функция не имеет ни максимума, ни минимума.

b) При при

Следовательно, при х = функция имеет максимум.

с) При при

Следовательно, при х=2 функция имеет минимум (черт. 218).

Замечание. При исследовании знака производной мы берем значения х, расположенные в непосредственной близости к рассматриваемой точке.

Задачи на максимум и минимум

1.Число 14 разбить на три слагаемых так, чтобы второе слагаемое было в два раза больше первого и чтобы сумма квадратов всех трех слагаемых имела наименьшее значение.

Первое слагаемое обозначим через х; тогда второе слагаемое будет 2х, а третье (14 — Зх).

Теперь исследуем на максимум и минимум функцию

или

Найдем производную:

Производная имеет лишь один корень х = 3.

При при Следовательно, при х = 3 функция имеет минимум. Этот минимум будет и наименьшим значением функции.

Итак, сумма квадратов трех слагаемых при наших условиях будет иметь наименьшее значение, если этими слагаемыми взять числа 3; 6; 5.

2. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом 32 так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала (рис. 219).

Обозначим сторону основания бассейна через х, а высоту через z. Тогда площадь стен и дна, взятых вместе, будет:

Но по условию , откуда и

Найдем производную:

или

Производная имеет лишь один действительный корень х = 4.
При х < 4 у’ < 0; при х > 4 у’ > 0.

Следовательно, при x = 4 функция имеет минимум.

Итак, на облицовку стен и дна бассейна при наших условиях пойдет наименьшее количество материала, если сторону основания бассейна взять равной 4 м, а высоту 2 м.

Дополнительное разъяснение о способах задания функции

Изучая вопросы, связанные с понятием функции, учащиеся нередко упускают из виду точное определение понятия функции, привыкают представлять себе функцию прежде всего как формулу, как аналитическое выражение и вне этой связи, как правило, не умеют мыслить о функциональной зависимости. Такое ограниченное представление о функциональной зависимости может затруднить понимание многих других вопросов, связанных с понятием функции. Поэтому мы считаем целесообразным еще раз остановить внимание учащегося на определении понятия функции и на способах ее задания.

Точное определение понятия функции. Величина у есть функция величины определенная на некотором множестве (совокупности) действительных значений х, если каждому значению х из этого множества соответствует некоторое определенное значение величины у.

Таким образом, при слове «функция» мы должны мыслить о соответствии между множеством значений величины х и множеством значений величины у, не связывая это обязательно с какой-нибудь одной формулой или одним аналитическим выражением. Правило, устанавливающее соответствие между множеством значений величины х и множеством значений величины у, может быть каким угодно.

Это правило может выражаться при помощи одной формулы, нескольких формул или словесной формулировкой и другими способами. Приведем примеры.

1. Пусть функция у = f(x) изображается графически ломаной линией, состоящей из биссектрис первого и второго координатных углов (рис. 220).

В данном случае соответствие между значениями величины х и значениями величины у устанавливается графически.

Это соответствие можно выразить довольно просто и аналитически, а именно

Однако не следует думать, что переход от графического задания функции к аналитическому всегда можно сделать, да еще с такой легкостью.

Вопрос о том, когда такой переход возможен, и методы такого перехода изучаются в курсе высшей математики.

2. Пусть задана функция у = f(x) следующей записью:

Здесь мы имеем полноценную запись соответствия между значениями величины х и значениями величины у, т. е. имеем полноценное задание одной единственной функции у = f(x), график которой изображен на рисунке 221.

Этот график состоит из одной изолированной точки и одной бесконечно простирающейся ломаной линии, лишенной точки (0; 2).

Таким образом, функциональная зависимость одной и той же функции может задаваться различными аналитическими выражениями на различных участках и определенными числами в отдельных точках.

3. Пусть задана функция у = f(x) следующей записью:

Эта функция определена для всех значений х, кроме значения х = 0. Ее можно выразить с помощью одного аналитического выражения таким образом:

При х = 0 эта функция не определена, так как выражение не является определенным числом.

График этой функции изображен на рисунке 222.

У этого графика нет точки с нулевой абсциссой. Точки (0; 1) и (0, — 1) не принадлежат графику.

4. Пусть задана функция у = f(х) следующей записью:

Эта функция определена для всех значений х. Ее график имеет точку с нулевой абсциссой. Ордината этой точки равна единице.

Этому графику не принадлежит точка (0; — 1). Сравните этот график с графиком, относящимся к примеру 3.

5. Рассмотрим одну из функций, определяемых словесно.

Пусть функция у = Е(х) определяется следующим правилом.

За значение величины у принимается всякий раз целая часть значения величины х. Следуя этому правилу, получим, например:

Примечание. Целой частью целого отрицательного числа мы считаем само это число. Целой частью нецелого отрицательного числа мы считаем ближайшее к нему, но меньшее его, целое отрицательное число.

Функция у = Е(х) называется «целой частью от х» или кратко «антье от х». Слово «антье» происходит от французского слова «entier», что означает «целое».

График функции у = Е(х) изображен на рисунке 223.

Этот график представляет собой ступенчатую линию, состоящую из отдельных отрезков прямой, расположенных параллельно оси . Левые концы этих отрезков принадлежат графику, а правые не принадлежат.

Ограничимся этими пятью примерами задания функции, хотя можно было бы привести еще много других не менее интересных примеров.

Замечание 1. Если функция у = f (х) задается просто аналитическим выражением без всяких дополнительных условий, то всегда подразумевают, что областью ее определения является область определенности этого аналитического выражения.

Замечание 2. Не следует думать, что равенство

является справедливым всегда. Например, для функции

имеем:

а f (1) обращается в т. е. предел функции и значение функции представляют собой не одно и то же. В данном случае

График функции есть прямая линия у = х+1 (рис. 224), лишенная точки (1; 2).

Приведенные выше пять примеров и два замечания облегчат учащемуся понимание того, что изложено в следующем параграфе, озаглавленном «Непрерывность функции».

Непрерывность функции

Непрерывность в точке. Функция у = f(x) называется непрерывной при х = а (или, короче, в точке а), если выполняются следующие четыре требования:

1. f(a) есть определенное число, т. е. функция f (х) определена в точке а.
2. Функция f(x) определена в какой-нибудь окрестности точки а (окрестностью точки а называется любой промежуток, содержащий точку а).
3. При любом законе стремления аргумента х к числу а существует предел функции f (х).
4. 

Пример 1. Функция у = непрерывна в любой точке х = а. (Здесь f(х)=)

Действительно,

1. , т. е. функция определена в точке х = а.
2. Функция определена в любой окрестности точки х = а.
3. т. е. требующийся предел существует, поскольку

(Мы здесь воспользовались тем, что предел протзпедения двух множителей равен произведению пределов этих множителей, если последние пределы существуют.)

4. так как и

Пример 2. Функция не является непрерывной в точках х = 1 и х = — 1, так как в этих точках она не определена. В данном случае f(1) и f(—1) не являются числами.

Пример 3. Функция

не является непрерывной в точке x = 0. Здесь первое требование выполняется: f(0) есть определенное число, а именно единица. Выполняются второе и третье требования. Но не выполняется четвертое требование, так как а

Пример 4. Функция

не является непрерывной в точке x = 0. Здесь первое требование выполняется:

Выполняется и второе условие: существует окрестность точки х = 0, в которой функция определена. Но третье условие не выполняется. Действительно,

т. е. при разных законах стремления аргумента х к нулю получаются разные пределы, а не один и тот же предел. Для непрерывности же необходимо, чтобы предел функции существовал один и тот же, независимо от способа стремления аргумента х к нулю.

Пример 5. Функция у = Е(х) (антье от х) не является непрерывной при целых значениях аргумента. Покажем, что она не является непрерывной, например, при х = 4.

Первое требование для непрерывности выполняется:

E(4) = 4.

Второе требование также выполняется: существует окрестность точки х = 4, в которой функция Е(х) определена. Но третье требование не выполняется:

Следовательно, не существует. Из этого вытекает, что х = 4 не является точкой непрерывности.

Итак, функция называется непрерывной в точке а, если она определена в этой точке, определена в какой-нибудь окрестности этой точки, и если предел функции при произвольном стремлении аргумента х к а существует и равен значению функции при х = а.

Непрерывность на промежутке. Функция, непрерывная в каждой точке промежутка, называется непрерывной в этом промежутке.

Непрерывность на отрезке. Функция у = f(х) называется непрерывной на отрезке [р, q], если она непрерывна в промежутке (р, q) и если

Пример 1. Функция у = tg x имеет следующие промежутки непрерывности:

Если к каждому из этих промежутков присоединить их концы, то на полученных отрезках и т. д. функция у = tg x уже не будет непрерывной (см. рис. 173 на стр. 533). (Доказательство этих двух утверждений опускается. Эти утверждения следуют из общей теоремы о непрерывности элементарных функций, см. стр. 733.)

Пример 2. Для функции у = Е(х) (антье от х) любой промежуток, концами которого служат два последовательных целых числа, будет являться промежутком непрерывности. На отрезке же, концами которого служат целые числа, функция у = Е(х) уже не будет непрерывной (см. рис. 223).

Пример 3. Функция у = непрерывна на всей числовой оси.

Точки разрыва функции. Точка х = а называется точкой разрыва функции у = f (х), если f (х) определена в какой-нибудь окрестности этой точки и если при этом выполнено хотя бы одно из следующих условий: либо f(х) не имеет предела, когда х стремится к а по произвольному закону, либо этот предел существует, но не совпадает со значением функции в точке х = а, либо, наконец, f(х) не определена в точке х = а.

Каждая точка, которая не являлась точкой непрерывности функции в разобранных выше примерах, является, как это легко доказать, вместе с тем и точкой разрыва соответствующей функции.

Приведем еще несколько примеров точек разрыва.

Пример 4. Функция определена для любых значений х, кроме х=0. Следовательно, х=0 является точкой разрыва этой функции. Таким образом, эта функция при произвольном стремлении аргумента х к нулю не имеет предела. Действительно, если мы станем стремить х к нулю слева, т. е. оставляя х отрицательным, то будет стремиться к минус бесконечности и

Если же мы станем стремить х к нулю справа, т. е. оставляя х положительным, то будет стремиться к плюс бесконечности и

Таким образом, оказалось, что рассматриваемая функция имеет различные пределы при двух различных законах стремления х к нулю. Это означает, что функция не имеет предела при произвольном стремлении аргумента х к нулю. Если

График этой функции изображен на рисунке 225.

Асимптота. Пусть имеется кривая, ветвь которой удаляется в бесконечность. Если расстояние от точки кривой до некоторой определенной прямой по мере удаления точки в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой.

На рисунке 226 изображена асимптота АВ к кривой МЫ. Оси координат являются асимптотами кривой (см. рис. 85 на стр. 323).

Прямая как это видно на рисунке 225, является асимптотой кривой

Пример 5. Функция у = tg х не является непрерывной в точках (см. рис. 173 на стр. 533).

Эти точки являются одновременно и точками ее разрыва.

Пример 6. Функция определена для всех значений х, кроме х = 0. Она и непрерывна при всех значениях х, кроме х = 0. Точка х = 0 является одновременно и ее точкой разрыва. Но есть разница в характере точек разрыва функций А именно стремится к нулю, когда х стремится к нулю справа и к единице слева. Функция tg х стремится к плюс бесконечности справа и к минус бесконечности слева, когда х стремится, например, .

Функция же не стремится ни к какому пределу при стремящемся к нулю (безразлично слева или справа). При стремлении х к нулю совершает бесконечное множество колебаний между + 1 и — 1 (рис. 227).

Элементарные функции. Основными элементарными функциями являются следующие:

1) степенная функция: где n —постоянное действительное число;

2) показательная функция: где а — постоянное положительное число;

3) логарифмическая функция: где основание логарифмов а — положительное число;

4) тригонометрические функции: а также реже употребляемые:

5) обратные тригонометрические функции:

а также

Всякая функция, заданная одним аналитическим выражением, составленным из конечного числа основных элементарных функций при помощи арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления) и взятия функции, называется элементарной функцией.

Например, элементарными функциями будут следующие:

Примем к сведению без доказательства следующее свойство элементарных функций.

Все элементарные функции непрерывны в своих областях определения, т. е. они не являются непрерывными лишь в тех точках, в которых они не определены.

Способ определения предела непрерывной функции. Если функция y=f(x) непрерывна в точке х = а, то , как мы знаем,

Отсюда следует правило: для того чтобы найти предел непрерывной функции, достаточно взять значение функции в соответствующей точке.

Способ определения предела элементарной функции. Для того чтобы найти предел элементарной функции при стремлении аргумента к такой точке а, в которой она определена, достаточно взять значение этой элементарной функции в точке а.

Примеры:

Нельзя писать

так как данная элементарная функция в точке х = 1 не определена. Этот предел надо находить так:

Мы имели право сократить дробь на (х—1), так как , а лишь стремится к единице. Нельзя писать так:

Этот предел вычисляется так:

Функции, непрерывные на всей числовой оси или на ее отдельных участках, обладают многими важными свойствами, которыми и объясняется огромное значение этих функций в математике и ее приложениях. Например, функция может иметь производную только в точках ее непрерывности. В своих точках разрыва функция производной не имеет.

Теорема Больцано. Функция, непрерывная на отрезке и принимающая на концах этого отрезка значения разных знаков, по крайней мере одни раз обращается в нуль внутри этого отрезка.

Иначе можно сформулировать эту теорему так:

Если функция f(х) непрерывна на отрезке [а, b] и при этом f(а)<0 и f(b)>0 (или f(а) >0 и f(b) < 0), то существует такое число с, что а < с < b и f(с) = 0.

Теорема Больцано прекрасно согласуется с нашим представлением о непрерывной кривой, которая неизбежно должна пересечь ось в какой-нибудь точке, чтобы перейти с одной ее стороны на другую (рис. 228).

Доказательство теоремы Больцано мы приводить здесь не будем. Заметим лишь, что, опираясь на эту теорему, можно доказывать некоторые утверждения, на первый взгляд отнюдь не представляющиеся вполне очевидными. Например, можно доказать такое утверждение:

Если А к В — две заданные фигуры на плоскости (рис. 229),» то существует такая прямая в этой плоскости, которая одновременно делит обе фигуры на равновеликие по площади части.

Приведем доказательство этой теоремы, изложенное на странице 418 книги Р. Курант и Г. Роббинс «Что такое математика» (ОГИЗ, 1947).

«Начнем доказательство с того, что выберем произвольную фиксированную точку Р в нашей плоскоcти и проведем из нее фиксированный луч PR, от которого будем вести отсчет углов. Каков бы ни был луч PS, делающий угол х с лучом PR, существует направленная прямая, параллельная PS и делящая фигуру А на равновеликие части. Действительно, возьмем одну из направленных прямых, параллельных PS и имеющих всю фигуру А по одну сторону: пусть эта прямая будет станем подвергать ее параллельному перенесению таким образом, чтобы при окончательном положении (которое назовем ) вся фигура А оказалась уже по другую ее сторону (рис. 230).

В таком случае функция, определяемая как разность площади части А, расположенной вправо от направленной прямой, и площади части А, расположенной влево («вправо» — «к востоку», «влево» — «к западу», если прямая направлена, скажем, «на север»), оказывается положительной для положения прямой и отрицательной для положения. Так как эта функция непрерывна, то, по теореме Больцано, она обращается в нуль при каком-то промежуточном положении прямой, которое мы обозначим теперь через и при котором, очевидно, фигура А разбивается пополам. Итак, каково бы ни было х (0° <х < 360°), существует прямая , разбивающая А пополам. Обозначим теперь через у = f(x) разность между площадью части фигуры В справа от и площадью части слева от .

Допустим для определенности, что прямая , параллельная PR и разбивающая А пополам, справа имеет большую часть площади В, чем слева; тогда у положительно при х = 0°. Пусть теперь х возрастает до 180°, тогда прямая параллельная RP и разбивающая А пополам, совпадает с (но направлена в противоположную сторону, а «правая» и «левая» стороны переместились); отсюда ясно, что значение у при х = 180° численно то же, что и при х = 0°, но с обратным знаком, т. е. отрицательно. Так как у есть функция х, непрерывная при 0°<x< 180° (упомянутая разность площадей, очевидно, изменяется непрерывно при вращении секущей прямой), то существует такое значение х = а, при котором у обращается в нуль. Но тогда прямая разбивает пополам обе фигуры А и В одновременно. Наша теорема доказана.

Следует заметить, что мы установили всего-навсего существование прямой, обладающей заданным свойством, но не указали определенной процедуры для ее построения: в этом характерная черта «чистых» математических доказательств существования».

Позиционные системы счисления

Системой счисления называется совокупность правил и приемов записей и наименований чисел.

Особо важную роль играют позиционные системы счисления. В позиционной системе счисления значение цифры изменяется с изменением ее положения в записи числа. Одним из представителей позиционных систем счисления является общепринятая десятичная система. Представителем непозиционных систем счисления является, например-, известная римская система. Непозиционные системы неудобны и в настоящее время почти не употребляются.

Но прежде чем приступить к изучению различных позиционных систем, поясним, почему они в настоящее время представляют особый интерес.

Как известно, создание и широкое применение разнообразных электронных вычислительных машин обеспечило резкий подъем науки и техники. Дальнейшее совершенствование этих машин и их служение достижению новых, еще более огромных успехов в науке и технике имеет необычайно широкие перспективы. В настоящее время электронными вычислительными машинами владеют и пользуются очень многие организации, учреждения и предприятия.

Среди разнообразных электронных вычислительных машин важное место занимают так называемые электронные цифровые вычислительные машины * (ЭЦВМ). Для решения задач на этих цифровых машинах используются в основном следующие системы счисления: десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Сами операции в большинстве таких цифровых машин выполняются в двоичной системе счисления. Вот почему знакомство с позиционными системами, отличными от десятичной, не может не представлять интереса для изучающего математику.

* Эти машины способны выполнять сотни тысяч арифметических действий в секунду. С их помощью решаются сложные математические задачи с большим объемом вычислений, исчисляемых миллионами и даже сотнями миллионов арифметических действий. Раньше, до появления ЭЦВМ, такие задачи были практически неразрешимыми.

Десятичная позиционная система счисления

В десятичной системе счисления используются для записей чисел десять различных знаков-цифр: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, изображающих десять последовательных целых чисел. Число десять изображается уже двумя цифрами «10». Любое другое число записывается в десятичной системе в виде некоторого набора десятичных цифр, разделенного запятой на целую и дробную части. В десятичной системе счисления значение цифр изменяется с изменением ее местоположения в записи числа. Например, в числе 7784,75 первая слева цифра 7 обозначает количество тысяч, вторая цифра 7 обозначает число сотен и, наконец, цифра 7, стоящая после запятой, обозначает количество десятых долей. Поэтому десятичную систему и называют позиционной. Значение цифры зависит от ее местоположения (позиции) в последовательности цифр, изображающей данное число. Всякая другая система счисления, обладающая таким же свойством, тоже будет позиционной.

Десятичное число 7784,75 есть сокращенная запись выражения В общем случае десятичное число есть сокращенная запись выражения

В этой системе счисления для записи чисел используются, как уже отмечалось, десять различных цифр, и потому она называется десятичной. Число «десять» называется основанием десятичной системы.

Названия чисел в десятичной системе построены из названий цифр и названий некоторых чисел (десять, сто, тысяча, миллион, миллиард и т. д.). Например, двенадцать — сокращенное «два и десять»; двадцать — сокращенное «два по десять»; восемьдесят — сокращенное «восемь десятков»; тридцать пять — сокращенное «три по десять и пять» и т. д.

Широкое распространение десятичной системы объясняется тем, что человек имеет десять пальцев на руках. Древний человек считал по пальцам, считал десятками. Однако имеются в истории примеры использования позиционных систем с другими основаниями, например с основанием двенадцать, шестьдесят.

Подобно десятичной системе счисления можно построить любую другую р-ичную систему (р — целое положительное число).

Двенадцатеричная позиционная система

В двенадцатеричной системе для изображения чисел надо иметь 12 цифр. Для первых десяти цифр оставляются те же значки (цифры) 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, что и в десятичной системе, а для следующих двух целых чисел вводятся значки, например,

Для этих значков оставим десятичные названия «десять» и «одиннадцать».

Основание системы «двенадцать» будем называть «дюжиной». В позиционной двенадцатеричной системе число «двенадцать» должно изображаться символом «10».

В рассматриваемой системе счисления можно ввести, например, такие названия чисел:

11 — дюжина да один,
12 — дюжина да два,
— дюжина да одиннадцать,
20 — две дюжины,
— две дюжины да десять,
—четыре дюжины да одиннадцать,
100 — дюжина дюжин (или гросс, наподобие «ста» в десятичной системе),
— гросс да одиннадцать и т. д.

Чтобы облегчить понимание записей в двенадцатеричной системе, приведем еще следующую таблицу:

Вводить названия чисел в каждой позиционной системе нет необходимости. Позиционными системами, отличными от десятичной, можно пользоваться и без введения для чисел особых для каждой системы названий.

Чтобы отличить запись числа в какой-нибудь системе от записи в десятичной системе, можно пользоваться указателем системы.

Например, запись означает число, записанное в двенадцатеричной системе. Запись означает запись в восьмеричной системе и т. д.

Легко убедиться, что

Запись можно прочитать так: «пятьсот четырнадцать в двенадцатеричной системе». Запись — «пятьсот четырнадцать в восьмеричной системе» и т. д.

Но можно этот указатель системы счисления не писать, а лишь помнить его.

Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система счисления широко используется при подготовке задач для решения на электронных вычислительных цифровых машинах.

В этой системе для записи чисел используются восемь различных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, которые обозначают последовательно целые числа от нуля до семи.

Число восемь (основание системы) обозначается двумя цифрами в виде «10». Любое другое число можно представить в виде определенной последовательности из восьмеричных цифр, разделенных запятой на целую и дробную части.

Например, число есть сокращенная запись выражения (10 обозначает восемь). Для перевода этого числа в десятичную систему нужно в последнем выражении вместо 10 поставить 8 и произвести необходимые вычисления (в десятичной системе). Будем иметь:

Теперь рассмотрим обратный перевод. Пусть требуется перевести в восьмеричную систему десятичное число 748.

Разделим 748 на 8.

Результат этого деления показывает, что в числе 748 содержится четыре единицы и 93 восьмерки.

Разделим 93 на 8.

Этот результат показывает, что в 93 единицах 2-го разряда восьмеричной системы содержится 5 единиц 2-го разряда и 11 единиц 3-го разряда.

Разделим 11 на 8.

В 11 единицах 3-го разряда восьмеричной системы содержится три единицы 3-го разряда и одна единица 4-го разряда.

Следовательно,

Произведенное выше последовательное деление на 8 можно расположить кратко так:

Это последовательное деление на 8, т. е. на основание новой системы, продолжается до тех пор, пока частное не окажется меньше восьми.

Чтобы производить арифметические действия в восьмеричной системе, нужно пользоваться таблицами сложения и умножения, составленными для восьмеричной системы.

Восьмеричная таблица сложения

Правило пользования таблицей сложения можно проиллюстрировать на примерах. Пусть требуется, например, сложить 5 и 7. Находим строку таблицы, в левой клетке которой стоит 5,и находим столбец, в верхней клетке которого стоит 7. На пересечении найденных строки и столбца прочитаем ответ 14. Этой же таблицей можно пользоваться и для вычитания. Требуется, например, вычесть 6 из 12. Ищем строку, в левой клетке которой стоит 6, и в этой строке находим столбец с числом 12. Смотрим на верхнюю цифру этого столбца, получаем ответ 4.

При помощи восьмеричной таблицы сложения можно складывать и вычитать восьмеричные числа по таким же правилам, как и в десятичной системе счисления.

Примеры.

Правило получения произведения по двум сомножителям по восьмеричной таблице умножения не требует пояснений. Используя восьмеричную таблицу умножения и сложения и руководствуясь правилами, которые применяются в десятичной системе счисления, можно производить умножение и деление восьмеричных чисел.

Примеры:

Двоичная система

Двоичная система счисления особенно важна. В двоичной системе, как уже отмечалось, выполняются операции почти во всех типах ЭЦВМ.

Числа, над которыми машина должна выполнить нужные действия по составленной программе, сначала переводятся в двоичную систему. Для ввода этих чисел в машину служат перфорированные карты или лента, размеченные таким образом, что каждому разряду числа соответствует определенное место на перфокарте. Если в этом месте пробито отверстие, то в соответствующем разряде стоит 1, если же отверстия нет, .то в разряде стоит нуль. Места для пробивки разрядов на карте располагаются для каждого числа слева направо. Пробивка отверстий производится вручную на специальном перфораторе. После этого карты вводятся в специальное электромеханическое устройство вычислительной машины.

В двоичной системе для записи чисел употребляются только цифры 0 и 1. Число два (основание системы) изображается двумя цифрами так же, как и основание любой другой системы, а именно символом «10».

Символ «10» в двенадцатеричной системе обозначает число двенадцать, в восьмеричной — восемь, в двоичной — два, в троичной — три и т. д.

Целые числа, начиная с трех и кончая десятью, изображаются в двоичной системе соответственно символами:

11; 100; 101; 110; 111; 1000; 1001; 1010.

Любое число, записанное в двоичной системе, легко перевести в десятичную систему.

Например,

Теперь покажем перевод целого числа из десятичной системы в двоичную.

Пусть требуется изобразить число 185 в двоичной системе. Выполним последовательное деление числа 185 на 2, т. е. на основание двоичной системы.

Следовательно, число 185, данное в десятичной системе, изобразится в двоичной системе так: 10111001.

Действительно,

Это разложение числа по степеням основания 2 можно записать в двоичной системе так:

Здесь «10» означает два. Показатели степени также записаны в двоичной системе. Например, 111 означает 7, а 110 означает б и т. д

В двоичной системе число изображается большим количеством разрядов по сравнению с десятичной. Например, число 185 в десятичной системе является трехразрядным, а в двоичной — восьмиразрядным (10111001). Но это обстоятельство не создает каких-нибудь трудностей.

Для того чтобы с двоичными числами можно было производить арифметические действия, необходимо знать двоичные таблицы сложения и умножения. Эти таблицы имеют очень малый объем и легко запоминаются.

Используя эти таблицы и применяя правила, известные из «десятичной арифметики», можно производить сложение, вычитание, умножение и деление двоичных чисел.

Примеры:

Из этих примеров видно, что арифметические действия в двоичной системе выполняются особенно просто. Так, при умножении множимое переписывается без изменения «со сдвигами» столько раз, сколько раз цифра 1 содержится во множителе. Деление выполняется также просто. В частном получаются только цифры 0 и 1, которые определяются очень легко. Сложение и вычитание в двоичной системе выполняются также проще, чем в других системах. Но не в этом заключается главное решающее достоинство двоичной системы для конструкции электронных цифровых машин. Чтобы машина работала, например, в десятичной системе, она должна была бы иметь десять различных устойчивых состояний, соответствующих десяти различным цифрам 0,1, 2,3,4, 5,6,7,8,9 десятичной системы. При двоичной же системе машине надо иметь только два устойчивых состояния, соответствующих цифрам 0 и 1 двоичной системы. Создание физических элементов, имеющих больше чем два различных устойчивых состояния, труднее, чем элементов с двумя устойчивыми состояниями. В этом и заключается огромное преимущество двоичной системы для конструкции ЭЦВМ.

Шестнадцатеричная система

Если основание системы счисления больше десяти, то для записи чисел общепринятых (арабских) цифр будет недостаточно. Число цифр должно равняться числу, являющемуся основанием данной системы. Например, для шестнадцатеричной системы можно принять следующие 16 цифр и их названия:

Здесь 10 означает шестнадцать.

Приведем пример перевода шестнадцатиричного изображения числа в десятичное:

Теперь приведем два примера обратного перевода.

Следовательно,

Следовательно, Здесь является цифрой 2-го разряда и означает четырнадцать.

Перевод сделан правильно. Действительно,

В качестве дополнительной иллюстрации приведем таблицу записей небольшого ряда чисел в различных позиционных системах счисления:

Перевод целых чисел из одной недесятичной системы в другую недесятичную

Мы уже рассматривали перевод целых чисел из недесятичной системы в десятичную и перевод из десятичной в недесятичную.

Поэтому перевод из одной недесятичной системы в другую недесятичную можно было бы сделать так: сначала перейти от данной недесятичной системы к десятичной, а затем из десятичной перейти к требуемой недесятичной. Покажем это на примере.

Отсюда 23=10111. Следовательно,

Однако делать перевод изложенным способом нецелесообразно, так как его можно делать непосредственно, т. е. без использования десятичной системы.

Покажем на примерах, как это нужно делать.

Пример 1. В восьмеричной системе некоторое число имеет изображение 2704. Найти изображение этого числа в пятеричной системе.

Произведем последовательное деление числа на 5, делая все расчеты в восьмеричной системе:

Следовательно,

Пояснения:

Пример 2. Число изобразить в двоичной системе:

Следовательно,

Пример 3. Число изобразить в восьмеричной системе. Произведем последовательное деление числа 11011 на 8, делая расчеты в двоичной системе:

Следовательно,

Пример 4. Число изобразить в восьмеричной системе.

Расчет ведем в двоичной системе:

Следовательно,

Пример 5. Число изобразить в пятеричной системе:

Следовательно,

Перевод правильных дробей из одной системы в другую

Сначала напомним на примерах смысл дробей, записанных в разных системах счисления:

Теперь перейдем к рассмотрению вопроса о переводе правильных дробей из одной системы счисления в другую. Способ этого перевода изучим на примерах.

Пример 1. Правильную десятичную дробь 0,34375 перевести в восьмеричную систему.

Увеличим данную дробь 0,34375 в 8 раз:

В полученном произведении целая часть содержит две единицы. Но эти две целые единицы мы должны рассматривать как две восьмые доли, так как их мы получили умножением данной десятичной дроби на 8.

Таким образом, восьмеричное изображение данной десятичной дроби должно иметь первой цифрой после запятой цифру 2.

Теперь умножим дробь 0,75000 на 8:

Полученные 6 целых единиц образовались в результате двух последовательных умножений на число 8. Таким образом, это число 6 мы должны рассматривать как 6 не целых единиц, а как шесть шестьдесят четвертых долей. Следовательно, восьмеричное изображение данной дроби 0,34375 должно иметь второй цифрой после запятой цифру 6.

Так как в последнем произведении 6,00000 все знаки после запятой являются нулями, на этом процесс перевода заканчивается и искомым изображением числа 0,34375 в восьмеричной системе будет 0,26.

Итак,

Проверка.

Краткая схема перевода без объяснений:

Пример 2. Дробь 0,816 изобразить в пятеричной системе. 0,816 X 5

Пример 3. Дробь 0,34375 изобразить в двоичной системе.

Пример 4. Дробь 0,34375 изобразить в шестнадцатеричной системе.

Пример 5. Двоичную дробь 0,01011 изобразить в восьмеричной системе.

Последовательные умножения на 8 будем производить в двоичной системе, зная, что

Следовательно,
(Для проверки см. примеры 1 и 3.)

Пример 6. Число изобразить в двоичной системе. Последовательные умножения на 2 будем производить в восьмеричной системе.

Следовательно,
(Для проверки см. пример 5.)

Замечание. Обратим внимание, что при переводе р-ичной правильной дроби в какую-нибудь другую систему надо последовательные умножения производить в р-ичной системе.

Следует иметь в виду, что при переводе дроби из одной системы в другую процесс последовательных умножений может и не обрываться или обрываться не скоро. В таких случаях нужно обрывать процесс умножения при достижении достаточной точности перевода.

Пример 1. Десятичную дробь 0,12 требуется перевести в восьмеричную систему счисления.

Обрывая процесс после пяти умножений, получим приближенное значение нашей дроби в восьмеричной системе счисления: 0,075341.

Если требуется перевести неправильную дробь из одной системы в другую, то отдельно переводят целую и отдельно дробную части.

Пример 2. Десятичное число 158, 34375 перевести в двоичную систему. Сначала переведем целое число 158:

Далее, (см. пример 3 на стр. 75Q).

Следовательно,

Рационализированный способ перевода чисел из восьмеричной системы в двоичную и обратно

Двоичная система счисления применяется для представления чисел и выполнения операций в большинстве современных машин. Восьмеричная же система применяется при подготовке данных для работы машины. Восьмеричная система выбрана для целей подготовительной работы потому, что при ее использовании достаточно просто осуществляется перевод подготовленных чисел в двоичную систему и обратный перевод.

Поэтому вопрос о переходе от восьмеричной системы к двоичной и вопрос об обратном переходе мы подвергнем здесь рассмотрению еще раз.

Примечание. Число,записанное в р-ичиой системе, будем называть для краткости р-ичным числом.

Рассмотрим восьмеричное и двоичное изображения одного и того же числа N:

Разделим число N, записанное в восьмеричной системе, на 8. Тогда получим в частном и в остатке .

Число действительно является остатком, так как, являясь цифрой восьмеричной системы, оно не может обозначать собой число, большее 7.

Разделим то же число N, записанное в двоичной системе, так же на 8.

Тогда получим в частном

и в остатке.

Число не больше семи, так — цифры двоичной системы.

В обоих случаях мы делили на 8 одно и то же число. Поэтому должны быть равными между собой как частные, так и остатки Следовательно,

и

Равенство (В) дает развернутую запись восьмеричного числа в двоичной системе счисления, т. е.

Из равенства (А) таким же путем (т. е. путем деления его левой и правой части на 8) найдем, что

Таким образом, для перевода целого восьмеричного числа в двоичное нужно каждую цифру заменить ей равным двоичным числом согласно следующей таблице:

Это правило сохраняет силу и при переводе восьмеричных дробей в двоичную систему.

В самом деле, если есть восьмеричное число, то будет целым числом, которое можно перевести в двоичную систему указанным в этом параграфе способом.

Для того чтобы получить требуемое двоичное число, нужно полученное число разделить на т. е. поставить запятую после Зm цифр справа.

Пример. Восьмеричное число 376, 174 перевести в двоичное. Используя таблицу, пишем ответ: 11 111 110, 001 111 100 (нуль в первой тройке 011 отброшен).

Теперь можно сразу сформулировать и правило для перевода двоичных чисел в восьмеричные.

Для перевода двоичного числа в восьмеричное нужно, начиная от запятой, разбить набор двоичных цифр на тройки; если левая и правая группы цифр не составляют полной тройки, то они дополняются нулями до полных троек. Далее, каждая тройка двоичных чисел заменяется одной восьмеричной цифрой согласно таблице (А).

Пример. Двоичное число 10 111 011, 111 011 0111 требуется перевести в восьмеричную систему счисления.

Разбиваем набор цифр на тройки, начиная от запятой. Имеем Дополняем левую и правую (крайние) группы нулями до тройки цифр

Применяя таблицу (А), получим ответ: 273, 7334.

Теперь можно предложить более простой способ и для перевода чисел из десятичной системы в двоичную.

Для того чтобы десятичное число перевести в двоичное, нужно выполнить два этапа: 1) перевести десятичное число в восьмеричную систему счйсления (это сделать проще, чем перевести десятичное число в двоичное); 2) перевести восьмеричное число (по рассмотренному правилу) в двоичное.

Пример. Десятичное число 286,15 перевести в двоичную систему счисления.

1-й этап. Перевод целой части в восьмеричную систему:

Перевод дробной части в восьмеричную систему:

В восьмеричной системе будет дробь бесконечной периодической:

0,(11463).

Таким образом, наше число в восьмеричной системе счисления будет иметь вид: 436,(11463).

2-й этап. Используя изложенное правило и таблицу (А), пишем сразу ответ:

Об условиях необходимых и достаточных

В математике часто встречаются понятия: «необходимое условие», «достаточное условие» и «необходимое и достаточное условие».

1. Когда мы говорим, что данное условие является «необходимым», то это означает, что некоторое событие не может иметь места без этого условия. Иначе говоря, если событие имеет место, то и это условие обязательно будет иметь место.

Пример. Для того чтобы число делилось на 19, необходимо, чтобы оно было не меньше 19.

38 делится на 19 (38 не меньше 19),
19 делится на 19 (19 не меньше 19),
15 ие делится на 19 (15 меньше 19).

Таким образом, требование, чтобы число было не меньше 19, является необходимым условием делимости этого числа на 19.

2. Когда мы говорим, что данное условие является «достаточным», то это означает, что при наличии этого условия некоторое событие обязательно будет иметь место.

Пример. Если каждое слагаемое делится на 7, то и их сумма разделится на 7.

Числа 14; 35; 56 делятся на 7. Их сумма 14 + 35 + 56, т. е. 105, также делится на 7.

Таким образом, условие делимости каждого слагаемого на 7 является достаточным для делимости их суммы на 7.

3. Когда мы говорим, что данное условие является «необходимым и достаточным», то это означает, что при наличии некоторого события это условие обязательно будет иметь место и, наоборот, при наличии этого условия упомянутое выше событие обязательно также будет иметь место.

Пример. Для того чтобы число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9.

Действительно, из арифметики известны следующие два положения:

1) Если число делится на 9, то сумма его цифр также делится на 9.
2) Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.

Таким образом, условие делимости на 9 суммы цифр числа является условием «необходимым и достаточным» для делимости на 9 и самого числа.

Дополнительные пояснения. Мы видели, что требование, чтобы число было не меньше 19, является условием необходимым для делимости этого числа нa 19.

Однако это условие вовсе не является достаточным. Действительно, число 45 не меньше 19, но 45 на 19 не делится.

Таким образом, могут существовать условия необходимые, но вовсе не являющиеся достаточными.

Мы видели, что требование делимости каждого слагаемого на 7 является условием достаточным для делимости на 7 их суммы.

Однако это условие вовсе не является необходимым. Действительно, числа 30 и 54 не делятся на 7, между тем как их сумма 30 + 54, т. е. 84, делится на 7.

Таким образом, могут существовать условия достаточные, но вовсе не являющиеся необходимыми.

Наконец, могут существовать условия, которые не являются необходимыми и в то же время не являются достаточными.

Пример. Делимость суммы цифр числа на 7 не является условием необходимым для делимости самого числа на 7.

Действительно, число 6734 делится на 7, между тем как сумма его цифр на 7 не делится.

Делимость суммы цифр числа на 7 не является также и достаточным условием. Действительно, сумма цифр числа 786 делится на 7, между тем как само это число на 7 не делится.

Приведем еще несколько примеров.

Примеры необходимых условий

1. Условие а < b+ с является необходимым для того, чтобы из отрезков а, b, с можно было построить треугольник, так как одна сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Однако условие а < b + с не является достаточным, чтобы из отрезков а, b, с можно было построить треугольник. Например, если а = 5, b = 3, с = 17, то хотя а < b + с, но все же треугольника со сторонами 5, 3 и 17 построить нельзя.

2. Условие является необходимым для того, чтобы система

не имела ни одного решения. Однако это условие не является достаточным. Например, система

имеет решения, хотя

3. Свойство целого числа m быть делителем свободного члена приведенного уравнения п-й степени с целыми коэффициентами является условием, необходимым для того, чтобы m было корнем этого уравнения. Однако это условие не является достаточным, так как не всякий делитель свободного члена будет обязательно корнем уравнения (см. 628).

Примеры достаточных условий

1. Делимость на 17 каждого из двух слагаемых является условием, достаточным для делимости суммы этих двух слагаемых на 17. Однако это условие вовсе не является необходимым. Например, числа 40 и 45 не делятся на 17 и все же их сумма делится на 17.

2. Условие, что оба множителя суть положительные числа, является достаточным для того, чтобы их произведение было положительным. Однако это условие не является необходимым. Произведение двух чисел будет положительным и тогда, когда оба множителя отрицательные.

Условие является достаточным для того, чтобы выполнялось неравенство sin>0. Однако оно не является необходимым, так как sin будет больше нуля, например, и при

Примеры необходимых и достаточных условий

1. Отрицательность числа x является необходимым и достаточным условием для того, чтобы выражение имело отрицательное значение.

2. Условие является «необходимым и достаточным условием» для того, чтобы система

имела одно и только одно решение.

3. Свойство дискриминанта квадратного уравнения быть неотрицательным числом является необходимым и достаточным условием того, чтобы это уравнение не имело мнимых корней.

4. Свойство числа а быть корнем многочлена п-й степени относительно х является условием необходимым и достаточным для делимости этого многочлена на х — а.

Понятия «необходимое условие», «достаточное условие» и «необходимое и достаточное условие» — очень важные понятия. Непонимание этих логических категорий может приводить к путанице при формулировках ,и доказательствах многих положений математики.

Что такое число в математике

Мы уже знакомы с несколькими различными системами чисел: системой целых чисел, системой рациональных чисел, вещественных (действительных) чисел и, наконец, системой комплексных чисел. Каждая из этих систем, начиная со второй, шире предыдущей, так как она содержит ее в себе. Например, система рациональных чисел содержит в себе систему целых чисел; система вещественных чисел содержит в себе систему рациональных чисел и, наконец, система комплексных чисел — систему вещественных чисел.

Целые числа являются частным случаем рациональных чисел; рациональные числа являются частным случаем вещественных чисел. Наконец, вещественные числа являются частным случаем комплексных.

Переход от одной системы чисел к следующей представляет собой, таким образом, расширение этой системы, а вместе с тем и расширение понятия числа. Такой принцип расширения и обобщения понятия числа называется генетическим.

Исходным понятием числа было понятие натурального числа. Это понятие возникло очень рано, явившись первой математической абстракцией, выработанной человечеством. Долгое время натуральные числа были единственными известными числами; понятие числа было синонимом только натурального числа. Даже у Евклида термин «число» употребляется только применительно к натуральным числам. Дробные числа, хотя и были ему известны, все же не были для него числами, а были только отношениями целых чисел. Отрицательных чисел он совсем не знал.

Теперь остановимся подробнее на том, как именно последовательно происходило исторически расширение понятия числа. Сначала люди производили сложение, вычитание, умножение и деление только над натуральными числами. Но в то время как сложение оказывалось выполнимым всегда, вычитание уже сделать можно было не всегда. Соответственно этому уравнение х + а = b разрешимо не для» всех натуральных чисел а и b. Чтобы снять это ограничение, сделать вычитание всегда выполнимым и уравнение х + а = b всегда разрешимым, мы расширяем понятие числа, вводя новые символы
—1; — 2; — 3; … , т. е. отрицательные числа, считая по определению, что — k есть корень уравнения х + k = 0, т. е. что ( — k) + k = 0.

Для того чтобы символы — 1; — 2; — 3;… признать числами, надо сложению и умножению положительных и отрицательных чисел дать такое определение, при котором эти действия обладали бы такими же свойствами, как и сложение и умножение натуральных чисел.

Среди этих правил, как мы уже знаем, имеются, например, такие:

Тогда все законы (переместительный, сочетательный и распределительный) останутся в силе для системы целых положительных и отрицательных чисел. Этим путем мы приходим к системе целых чисел и соответственно расширяем понятие натурального числа до понятия целого числа.

Аналогично происходит расширение области целых чисел до области всех рациональных чисел.

В области целых чисел деление возможно не всегда. Уравнение ах = b разрешимо не для всех целых а и b. Чтобы сделать деление выполнимым всегда, т. е. уравнение ах = b разрешимым всегда, мы пополняем наш запас чисел (т. е. целых чисел) введением новых символов т. е. дробей. Надо отметить, что исторически дробные числа появились раньше отрицательных.

В этой расширенной области (целые числа и дроби) мы определяем сложение и умножение так, чтобы законы этих действий совпадали с законами в первоначальной области.

Продолжая таким образом, мы приходим к системе действительных чисел и, наконец, к системе комплексных чисел.

С алгебраической точки зрения множество рациональных чисел, множество действительных чисел и множество комплексных чисел характеризуется каждое в отдельности тем, что над числами каждого из этих множеств можно неограниченно производить все четыре алгебраических действия: сложение, вычитание, умножение и деление, не выходя за пределы этих множеств. Деление на нуль исключается.

Множества такого рода в современной математике называются полями.

Множество, например, целых чисел не является полем, так как в этом множестве деление не всегда можно выполнить, не выходя за пределы этого множества.

Поле комплексных чисел обладает исключительно» особенностью. В этом поле можно, не выходя из него, выполнять не только первые четыре действия, но и все прочие математические действия (возведение в любую комплексную степень, извлечение корня n-й степени из любого комплексного числа, нахождение логарифма отрицательного или комплексного числа, нахождение sin х и arcsin х при любых комплексных значениях х).

Примеры.

k — любое целое число;

k — любое целое число (см. 688).

k — любое целое число, т. е. имеет бесконечное множество действительных значений.

т. е. cos i есть действительное число (см. 688).

Возникает вопрос: нельзя ли понятие числа расширить дальше и построить такую новую систему чисел, которая содержала в себе, как свою часть, множество комплексных чисел и чтобы в этой новой области законы (переместительный, сочетательный и распределительный) сложения и умножения были бы сохранены?

Этот вопрос чрезвычайно сильно занимал математиков XIX века. И это вполне понятно. Введение комплексных чисел в математики принесло столь плодотворные результаты во всех разделах математики и математического естествознания, что мысль ввести какие-то новые, еще более общие числа естественно должна была привлечь к себе внимание математиков. За решение этой задачи принялись многие ученые (Гамильтон, Грассман и др.). Результат оказался крайне неожиданным: расширить область комплексных чисел, сохраняя при этом все свойства сложения и умножения, нельзя. Поле комплексных чисел оказалось самой широкой областью чисел, в которой сохраняются переместительный, сочетательный и распределительный законы сложения и умножения. После этого задачу дальнейшего расширения понятия числа можно было ставить лишь при условии отказа хотя бы от какого-либо одного из обычных свойств сложения или умножения.

Таким путем Гамильтон построил такую новую систему чисел, которая содержит в себе, как свою часть, множество комплексных чисел. Но эта новая система чисел, названных кватернионами, обладая всеми прочими обычными свойствами сложения и умножения, не обладает переместительным свойством умножения, т. е. вообще

где — кватернионы.

Посмотрим, что такое кватернион.

Чтобы облегчить понимание структуры кватерниона, мы сначала остановим внимание на структуре комплексного числа.

Допустим, что сумма квадратов двух действительных чисел х и у разлагается на линейные множители следующим образом:

Выясним, какому условию должен удовлетворять символ чтобы написанное разложение было справедливым.

Очевидно, что

Следовательно, должно быть:

Но мы знаем, что в выражении a + bi, в котором а и b— действительные числа, символ i удовлетворяет условию

Отсюда заключаем, что за нужно взять мнимую единицу i.

Итак, структура комплексного числа такова, что оно образуется с помощью двух действительных чисел а и b и двух символов 1 и i. Символ 1 называется вещественной единицей, а символ i — мнимой единицей.

При выполнении действий над комплексными числами мы принимаем следующую таблицу умножения для этих двух единиц:

Теперь допустим, что сумма квадратов четырех действительных чисел х, у, z, t разлагается на два линейных множителя следующим образом:

где i, j, k — какие-то неизвестные нам символы.

Посмотрим, какое требование надо наложить на символы i, j, k чтобы написанное выше разложение было справедливым.

Произведя умножение в правой части этого разложения, получим:

Для того чтобы последнее равенство было верным при любых вещественных значениях х, у, z, t, необходимо и достаточно подчинить символы i, j, k следующим требованиям:

Примем символ i имеющим тот же смысл, что и в комплексном числе а + bi. Но тогда символы j и k будут иметь иной смысл, чем i. Действительно, если допустить, например, что j = i, то получим между тем как должно быть ij + ji = 0.

Выражение

где x, у, z, t —действительные числа, a i, j, k — символы, удовлетворяющие следующим требованиям:

и называется кватернионом.

Итак, структура кватерниона такова, что он образуется с помощью четырех действительных чисел х, у, z, t и четырех символов 1; i; j; k, удовлетворяющих указанным выше условиям.

Символы 1; i; j; k, называются единицами, с помощью которых составляется кватернион.

Первая из этих четырех единиц есть обыкновенная вещественная 1.

В кватернионе

x называется скалярной составной частью кватерниона, а

его векториальной составной частью.

Чтобы считать кватернионы «числами», мы должны установить, по определению, правила их сложения и умножения.

Сложение естественно определить так: если

и

то

Чтобы определить умножение, достаточно задать «таблицу» умножения символов 1, i, j, k:

При этих условиях для кватернионов сохранятся все обычные свойства действий, кроме переместительного закона умножения, т. е. вообще

Полагая в выражении

получим:

т. е. получим обычное комплексное число.

Таким образом, область кватернионов является расширением области комплексных чисел. Но в этой расширенной области уже не выполняется переместительный закон умножения.

Составим произведение двух кватернионов в общем виде:

Мы здесь пользовались тем, что

При перемене порядка сомножителей шесть подчеркнутых членов меняют свои знаки, так что вообще говоря, существенно отлично от и притом не только по знаку, как это имеет место для произведений отдельных единиц i, j, k.

Наряду с этим произведение кватерниона на действительное число обладает переместительным свойством, т. е.

где а — действительное число.

Заметим, между прочим, что каждая из трех единиц i, j, k является корнем уравнения

В области кватернионов уравнение имеет бесконечное множество корней. Действительно, всякий кватернион в котором будет корнем уравнения . Докажем это.

Подставив в левую часть уравнения вместо х кватернион получим:

Итак, доказано, что кватернион при любых действительных значениях b, с, d, удовлетворяющих условию будет корнем уравнения .
Два кватерниона

и

называются взаимно сопряженными. Легко убедиться, что

Величина называется модулем кватерниона и обозначается через

Всякому кватерниону:

не являющемуся нулем, соответствует вполне определенный другой кватернион:

такой, что

Можно доказать, что

т. е. модуль произведения двух кватернионов равен произведению модулей этих кватернионов.

Мы здесь изложили лишь некоторые общие, далеко не полные сведения о кватернионах, не дав им ни геометрической, ни физической интерпретации (истолкования).

Читателю может показаться, что кватернионы являются лишь формальной выдумкой и никакой пользы принести не могут. Чтобы рассеять такое неверное представление о кватернионах, мы покажем хотя бы одно их несложное применение. А именно докажем с помощью кватернионов, что произведение суммы четырех квадратов на сумму четырех квадратов может быть представлено в виде суммы четырех квадратов.

Доказательство.

Пользуясь разложением суммы четырех квадратов на произведение двух сопряженных кватернионов, и тем, что произведение кватерниона на действительное число обладает переместительным свойством, найдем последовательно следующее:

В последнем выражении произведение Первых двух множителей можно заменить кватернионом

а произведение остальных двух множителей кватернионом

который можно записать и так:

Кватернионы (А) и (В) являются сопряженными,, а поэтому их произведение равно

Таким образом, получилось, что

что и требовалось доказать.

Пример.

получим, что

Значит, произведение суммы четырех квадратов на сумму четырех квадратов оказывается также суммой четырех квадратов

Кватернионы применяются в геометрии, физике, механике и особенно в современной квантовой механике. Все же их роль не столь велика, как роль комплексных чисел.

Степень, корни и иррациональные числа

Свойства степени с целым показателем

Как мы уже знаем, степенью данного числа а с целым положительным показателем п называется произведение n множителей, каждый из которых равен а. Так,

Само число а называется основанием степени. Степень с
показателем 2 называется квадратом, с показателем 3— кубом.

При действиях над степенями нужно руководствоваться
следующими правилами, которые формулируем в виде теорем.

Теорема 1. Произведение двух степеней с одинаковым
основанием равно степени того же основания с показателем, равным сумме показателей перемножаемых степеней.

Короче: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются. Например,

Эта теорема записывается в виде следующей формулы:

Доказательство. есть произведение m сомножителей, равных а; есть произведение n сомножителей, равных а. Следовательно, есть произведение m + n сомножителей, равных а, т. е. равно В буквенной записи

Следовательно,

Правило сложения показателей при умножении степеней с одинаковыми основаниями остается верным при любом числе множителей. Именно, верна следующая теорема.

Теорема 2. Произведение степеней с одинаковыми основаниями равно степени того же основания с показателем, равным сумме показателей перемножаемых степеней, при любом числе сомножителей.

Доказательство.

Например,

Теорема 3. Результат возведения степени в степень равен степени того же основания с показателем, равным произведению показателей, участвующих в действии, т. е.

Короче: при возведении степени в степень показатели перемножаются. Например,

Доказательство.

Теорема 4. Степень произведения нескольких чисел равна произведению степеней множителей с тем же показателем, т. е.

Доказательство. Проведем доказательство для произведения трех множителей.

Теорема 5. Степень дроби равна дроби, числитель и
знаменатель которой равны соответственно степени числителя и знаменателя исходной дроби, с тем же показателем, т. е.

Доказательство.

Квадрат суммы нескольких слагаемых

Правила возведения в степень произведения, частного и степени очень просты. Иначе дело обстоит со степенью суммы. Формула для степени суммы нескольких слагаемых сложна и становится все сложнее с возрастанием показателя степени и числа слагаемых.

Действительно,

Непосредственным умножением легко проверить, что

и т. д. Мы ограничимся рассмотрением формулы для квадрата суммы любого числа слагаемых.

Теорема. Квадрат суммы любого числа слагаемых есть сумма их квадратов плюс сумма всевозможных удвоенных попарных произведений слагаемых. Доказательство.

По правилу умножения многочлена на многочлен мы должны каждый член первого множителя умножить на каждый член второго множителя и сложить полученные произведения. При умножении слагаемых первого множителя на такие же слагаемые, взятые из
второго множителя, мы получим квадраты всех слагаемых. При умножении же двух различных слагаемых каждое произведение будет получаться два раза. Например, будет получено при умножении взятого из первого множителя, на взятое из второго и при умножении , взятого из первого множителя, на взятое из второго. То же самое будет и для любой другой пары слагаемых. Итак,

При пользовании этой формулой следует сначала написать квадраты всех слагаемых, затем приписать всевозможные удвоенные произведения. Чтобы не пропустить какое-либо из них, следует их записать в таком порядке: сначала всевозможные, удвоенные произведения первого слагаемого на остальные, затем — удвоенные произведения второго слагаемого на остальные, кроме первого, затем — удвоенные произведения третьего слагаемого на остальные, кроме первых двух, и так далее.

Пример.

Некоторые свойства степени

Очевидно, что любая степень числа 0 равна нулю, любая степень положительного числа положительна.

Правило возведения в степень отрицательного числа дается следующей теоремой.

Теорема 1. Степень с четным показателем отрицательного числа равна такой же степени его абсолютной величины, взятой со знаком плюс. Степень же с нечетным показателем отрицательного числа равна такой же степени его абсолютной величины, взятой со знаком минус.

Например,

Доказательство. Пусть — а есть отрицательное число, тогда а есть его абсолютная величина и

но и т. д., т. е.
при четном показателе n и при n нечетном. Следовательно, при четном n, при нечетном n, что и требовалось доказать.

Важно отметить, что четная степень любого рационального числа не может быть отрицательным числом, ибо четная степень положительного числа положительна, четная степень отрицательного числа тоже положительна, а степень нуля равна нулю.

Докажем еще две теоремы, в которых устанавливаются важные свойства степени.

Теорема 2. Из двух степеней положительных чисел с одинаковым показателем больше та, основание которой больше.

Иными словами, степень положительного числа с данным показателем возрастает с возрастанием основания. Сначала докажем следующие две леммы*), касающиеся умножения положительных чисел.

Лемма 1. Если а > b и с — положительное число, то ас > bс. Иными словами, обе части неравенства а > b можно умножить на любое положительное число с.

Доказательство. В самом деле, если а > b, то а — b есть положительное число; следовательно, (а — b)с тоже есть положительное число как произведение двух положительных чисел. Но

Из установленной положительности разности ас — bc заключаем, что ас > bс.

Лемма 2. Если a, b, c, d—четыре положительных числа
и a >b , c > d, то ac > bd.

Доказательство. Действительно, в силу первой леммы,
ас > bс. В силу той же леммы bc > bd, ибо c > d и b положительно. Следовательно, ac > bd.

Теперь обратимся к доказательству теоремы.

Доказательство теоремы 2. Пусть а и b — положительные числа и а > b Положим с = а; d = b. Тогда c > d и, в силу второй леммы, ac > bd; но

Следовательно,

Положим теперь Мы уже установили, что c > d. В силу второй леммы ac > bd; но

следовательно,

Положим теперь Мы уже установили, что c > d, В силу второй леммы ac > bd; но

Следовательно,

*) Леммой называется вспомогательная теорема, содержание которой используется в других доказательствах.

Положив и применив лемму 2, получим тем же рассуждением, что

Применив то же рассуждение еще раз, получим, что и т. д. Таким рассуждением мы можем дойти до любого значения показателя n. Теорема доказана.

В математике принято заменять цепочку единообразных рассуждений, подобных приведенным выше, одним рассуждением «от n— 1 к n». Это рассуждение для интересующей нас теоремы выглядит так:

Допустим, что теорема верна для показателя n— 1, и в этом предположении докажем ее для показателя n. Положим В силу сделанного предположения о том, что для показателя n— 1 теорема доказана, мы заключаем, что c > d, в силу второй леммы ac > bd; но

Следовательно,

Итак, мы доказали следующее: если теорема верна для
показателя n—1, то она верна и для показателя n. Но мы знаем, что для показателя 2 теорема верна, мы ее доказали. Следовательно, она верна и для показателя 3. Раз она верна для показателя 3, то она верна и для показателя 4 и т. д. Таким рассуждением мы дойдем до любого показателя.

Доказательство «от n—1 к n» называется иначе доказательством методом математической индукции. Этот метод нам придется в дальнейшем неоднократно применять.

Теорема 3. При безграничном увеличении положительного основания степени сама степень тоже безгранично растет.

Например, становится больше 100, как только a > 10; становится больше 1000 000, как только a > 1000, и вообще становится больше любого заданного числа, если только взять а достаточно большим.

Доказательство. Положим, что а >1. Тогда при
любом n, и следовательно, при безграничном увеличении а число тоже растет безгранично и даже быстрее, чем а. Теорема доказана.

Корень любой степени из числа

Корнем n-й степени из числа а называется такое число, п-я степень которого равна а. Например, корень третьей степени из 27 есть 3, так как корень четвертой степени из 16 есть 2, так как и т. д.

Корень n-й степени из числа а обозначается Корень второй степени иначе называется квадратным корнем, корень третьей степени— кубическим. Квадратный корень из числа а обозначается через без указания показателя.

Знак часто называют радикалом, иногда с указанием степени. То же название «радикал» часто относят и к алгебраическим выражениям, в которых последнее действие есть действие извлечения корня.

Так, выражение может быть названо квадратным радикалом, содержит кубический радикал в знаменателе и т. д.

Заметим, что числа 2 и —2 одинаково могут считаться
квадратными корнями из числа 4, так что квадратный корень из числа 4 имеет два значения 2 и — 2.

Сколько значений может иметь корень любой степени из данного числа? Ответ на этот вопрос дают следующие теоремы.

Теорема 1. Корень любой степени из положительного числа имеет не более одного положительного значения.

Так, и не существует другого положительного числа, куб которого равнялся бы 8. Действительно, пусть Если x < 2, то в силу теоремы 1 § 3. Если х > 2, в силу той же теоремы. Остается только одна возможность x = 2.

Таким же образом теорема доказывается и в общей формулировке.

Пусть корень n-й степени из положительного числа а имеет два положительных значения х и у. Тогда Докажем, что х = у. С этой целью допустим противное, что х и у не равны. Тогда х > у или y > x Если х > у, то, в силу теоремы 1 § 3, что противоречит тому, что Если у > х, то что также противоречит равенству Следовательно, х = у, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Корень любой степени из 0 имеет единственное значение, равное 0.

Доказательство. Всякое же число, отличное от нуля, при возведении в любую степень даст результат, отличный от 0.

Следовательно, единственным значением является 0.

Теорема 3. Корень нечетной степени из положительного числа имеет не более одного значения, и это значение может быть только положительным.

Доказательство. Корень нечетной степени из положительного числа не может быть отрицательным, ибо всякое отрицательное число при возведении в нечетную степень дает отрицательный результат.
Нуль также не может быть значением корня из положительного числа. Положительных же значений корня не может быть более одного в силу теоремы 1.

Теорема 4. Корень нечетной степени из отрицательного числа имеет не более одного значения, и это значение может быть только отрицательным.

Так, и не существует другого числа, куб которого равнялся бы — 27. Действительно, если откуда, в силу теоремы 3, для —х имеется единственное возможное значение —x = 3. Следовательно, х = — 3, и других значений для не существует.

Совершенно таким же образом теорема доказывается и в общей формулировке.

Пусть n— нечетное число, — отрицательное число и х есть Тогда и следовательно, т. е. —х есть значение корня n-й степени из положительного числа. В силу теоремы 3 этот корень
имеет не более одного значения, и это значение положительно. Следовательно, х имеет не более одного значения, и это значение отрицательное.

Теорема 5. Корень четной степени из отрицательного
числа не существует.

Доказательство. Никакое число при возведении в четную степень не дает отрицательного результата.

Теорема 6. Если существует одно значение корня четной степени из положительного числа, то существует еще одно и только одно значение, отличающееся от первого значения знаком.

Так, имеет два значения: 2 и —2, ибо Если бы нашлось третье значение х, то существовало бы и четвертое — х. Из четырех значений 2, — 2, х и — х два положительных и два отрицательных. Но, в силу теоремы 1, имеет не более одного положительного значения, так что предположение о существовании отличного от ±2 значения для привело нас к противоречию.

Таким же образом можно рассуждать при доказательстве теоремы в общей формулировке. Именно, если х есть корень четной степени из
положительного числа а, то — х тоже есть корень той же степени из а, ибо при возведении в четную степень числа х и —х дают одинаковые результаты. Если бы, кроме этих двух значений, нашлось бы третье у, отличное от них, то нашлось бы и. четвертое —у и оказалось бы, что корень имеет по крайней мере два положительных значения, что противоречит теореме 1.

Положительное значение корня четной степени называется его арифметическим значением. Под обозначением при четном n и а > 0 всегда подразумевается арифметическое значение корня.
Отрицательное же значение корня n-й степени из положительного числа а при четном n обозначается через Так и т. д.

Недостаточность совокупности рациональных чисел для извлечения корня из любого рационального положительного числа

Как было выяснено в гл. IX, § 3, далеко не из каждого рационального положительного числа можно извлечь квадратный корень. Именно, было установлено, что если целое положительное число a не является квадратом другого целого положительного числа, то не
существует и дробного рационального числа, квадрат которого равняется а. Следовательно, извлечение квадратного корня из такого целого числа невыполнимо, если оставаться в области рациональных чисел. Аналогичное обстоятельство имеет место для корней любой степени.

Приведем в дополнение к изложенному в первой части книги строгое и простое доказательство следующей теоремы, являющейся лишь частным случаем сказанного выше.

Теорема. Не существует рационального числа, квадрат
которого равен двум.

Иными словами, не существует рационального значения для

Доказательство. Допустим, что найдется несократимая
дробь где m и n — натуральные числа, такая, что

Тогда Из последнего равенства следует, что m есть четное число, и, следовательно, целое. После подстановки в и деления обеих частей равенства на 2 получим, что откуда следует, что и n есть четное число.

Итак, m и n оба четные, что противоречит не сократимости дроби Таким образом, предположение о том, что существует рациональное число квадрат которого равен 2, привело нас к противоречию. Следовательно, такой дроби не существует, что и требовалось доказать.

Приближенное извлечение корня

Ввиду невозможности точного извлечения корня данной степени из данного положительного числа, целесообразно поставить задачу о приближенном извлечении корня. В применении к квадратным корням этот вопрос был разобран в первой части книги (гл. IX, § 3).

Напомним относящиеся сюда определения и теоремы, обобщив их на корень любой степени n.

Приближенным значением с недостатком для корня n-й степени из данного положительного числа а, например с точностью до называется такое положительное число b, что но В свою очередь называется приближенным значением с избытком для

Вообще приближенным значением с недостатком для корня n-й степени из данного положительного числа а с точностью до а называется такое положительное число b, что но В свою очередь число b + а называется приближенным значением с избытком для с точностью до а, а число а — мерой точности.

При практических вычислениях чаще всего принимается за меру точности где m— некоторое натуральное число, а за приближенное значение с недостатком принимается десятичная дробь с m цифрами после запятой. Тогда приближенным значением с избытком явится большая смежная с ней десятичная дробь, т. е. такая, последняя цифра которой увеличена на одну единицу. Например, 1,259 и 1,260 являются приближениями с недостатком и с избытком к с точностью до 0,001, ибо

Такие приближения называются десятичными с точностью до единицы m-гo знака после запятой. Так, 1,259 и 1,260 суть десятичные приближения к с недостатком и с избытком с точностью до единицы третьего знака после запятой.

Теорема 1. Для каждого положительного числа а, не являющегося n-й степенью целого числа, существует целое число b, являющееся приближенным значением с недостатком для с точностью до единицы.

Например, для приближенным значением с недостатком с точностью до единицы есть 3, ибо

Доказательство. Нам нужно доказать, что для данного
положительного а найдется такое целое неотрицательное число b, что согласно определению приближенного значения с недостатком для а. Если а < 1, то утверждение теоремы очевидно. Именно, в качестве числа b можно взять нуль, ибо

Допустим теперь, что а > 1. Выберем целое число и рассмотрим ряд чисел

Согласно теореме 1 § 2 это возрастающий ряд чисел, т. е.
каждое последующее число больше предыдущего. Первое число 1 этого ряда меньше а, последнее больше а, так как Само число а не находится среди чисел этого ряда, так как а не является n-й степенью целого числа. Следовательно, а попадает в какой-то промежуток между двумя соседними числами рассматриваемого ряда, т. е. найдутся два таких смежных целых числа b и b + 1, что

Число b и есть искомое приближение.

Теорема 2. Для каждого положительного числа а, не
являющегося n-й степенью десятичной дроби с m цифрами после запятой, существует десятичное приближение к с точностью до единицы m-го знака после запятой.

Раньше чем привести доказательство в общем виде, рассмотрим численный пример. Пусть, например, требуется найти приближенное значение с точностью до 0,01 для Обозначим это значение через х. Тогда

Умножим обе части каждого из этих неравенств на получим

(лемма 1 § 3). Следовательно, 100x есть приближенное значение с точностью до 1 для В силу теоремы 1 такое приближенное значение существует. Посредством испытаний убеждаемся, что

Следовательно, 100x =144; х =1,44. Действительно,

Доказательство. Обратимся теперь к доказательству в общем случае. Пусть нам требуется найти десятичное приближение с недостатком к положительному числу а с точностью до единицы m-го знака после запятой. Рассмотрим число Число не является n-й степенью целого числа, ибо если при целом х, то

a есть десятичная дробь с m цифрами после запятой, что противоречит условию теоремы. Поэтому, согласно теореме 1, для найдется целое приближение с недостатком с точностью до единицы, т. е. такое число, что

Тогда

но

Таким образом, мы нашли две десятичные дроби с m цифрами после запятой, отличающихся на т. е. на одну, единицу последнего знака, и такие, что n-я степень меньшей дроби меньше а, n-я степень большей дроби больше а. Следовательно, и есть искомое приближение.

Теорема 2 решает вопрос о существовании приближенных значений для корня любой степени из любого положительного числа, но способ нахождения приближений к корню, использованный для доказательства теоремы, практически мало пригоден. Трудность заключается в отыскании приближенного значения с точностью до 1 из числа которое может быть огромным по величине. Для приближенного извлечения квадратного корня существует удобная схема вычислений, разобранная в гл. IX первой части книги.

Замечание. Для корней степени выше второй приближенное извлечение корня производится косвенными средствами: или с привлечением логарифмов (что будет изложено в гл. VII), или посредством применения общих методов приближенного решения уравнений высших степеней (некоторые из них разобраны в гл. IV). Эти методы можно применить, так как извлечение корня n-й степени из числа а равносильно решению алгебраического уравнения

Связь задачи об извлечении корня с задачей об измерении отрезков

Рассмотрим задачу об извлечении корня с геометрической точки зрения. Это поможет нам глубже понять, почему точное извлечение корня из положительного числа часто является неосуществимой
задачей, если оставаться в области рациональных чисел.

Пусть, например, требуется найти . Представим себе, что мы идеально точно построили график зависимости , соединив непрерывной линией все точки, ординаты которых равны кубам абсцисс (рис. 30). Найдем на этом графике точку М с ординатой, равной 2. С этой целью проведем через точку Р, взятую на оси ординат на расстоянии 2 от начала прямую параллельную оси абсцисс. Эта прямая пересечется с графиком в искомой точке М. Тогда абсцисса точки М должна равняться так как ее куб, согласно зависимости , должен равняться 2.

Итак, есть абсцисса точки М, т. е. длина отрезка ON Но, с другой стороны, среди рациональных чисел не существует. Как же разрешить создавшееся противоречие?

С одной стороны, мы видим на чертеже это есть абсцисса точки M, т. е. длина отрезка ON. Результат точного измерения этого отрезка в выбранном масштабе даст нам точное значение для С другой же стороны, среди рациональных чисел не существует.

Противоречие разрешается так. Не всякий отрезок имеет длину, измеряемую (в данном масштабе) рациональным числом, так что совокупность рациональных чисел оказывается недостаточной для измерения длин любых отрезков.

Если же мы так обобщим и расширим понятие числа, что окажется возможным каждому отрезку сопоставить число (из расширенной совокупности чисел) в качестве длины этого отрезка, то в этой расширенной совокупности чисел задача о точном извлечении корня любой степени из любого положительного числа окажется разрешимой. Действительно, естественно считать, что есть абсцисса точки графика зависимости , ордината которой равна а, т. е. есть длина некоторого вполне определенного отрезка.

Измерение отрезков. Определение иррационального и действительного числа

Измерение отрезка осуществляется посредством сравнения его с некоторым отрезком, принятым за единицу масштаба. Именно, если длина отрезка АВ равна, например, причем за единицу масштаба принят отрезок CD, то это значит, что часть отрезка CD укладывается на отрезке АВ ровно 45 раз. Таким образом, в рассматриваемом случае найдется отрезок MN ( часть отрезка CD) такой, что он укладывается на обоих сравниваемых отрезках целое число раз — 23 раза на отрезке CD и 45 раз на отрезке АВ.

Вообще длина отрезка АВ при сравнении с единицей масштаба CD выражается рациональным числом в том и только в том случае, если найдется отрезок MN, который укладывается на обоих отрезках целое число раз. Именно, если MN укладывается на единице масштаба CD n раз, а на отрезке АВ m раз, то длина АВ равна (рис. 31). Обратно, если длина АВ равна(при единице масштаба CD), то— часть CD укладывается на CD n раз, на АВ — m раз. Отрезок MN, укладывающийся целое число раз на отрезках CD и АВ, называется их общей мерой. Сами отрезки CD и АВ, если они имеют общую меру, называются соизмеримыми.

Итак, длина отрезка АВ выражается рациональным числом в том и только в том случае, если отрезок АВ соизмерим с отрезком CD, принятым за единицу масштаба.

Если бы оказалось, что любые два отрезка соизмеримы, то совокупность рациональных чисел оказалась бы достаточной для измерения любого отрезка. Однако это не так. Именно, существуют несоизмеримые отрезки. В геометрии устанавливается, например, что диагональ квадрата несоизмерима с. его стороной. Мы дадим почти чисто арифметическое доказательство этой замечательной теоремы.

Из арифметики известно, что площадь прямоугольника (измеренная в квадратных единицах масштаба) равна произведению длин его сторон (измеренных в соответствующих линейных единицах). Конечно, это устанавливалось в . арифметике в предположении, что стороны прямоугольника выражаются рациональными числами.

Примем за единицу масштаба сторону квадрата ОАВС (рис. 32). Отложим на продолжении сторон ОА и ОС, от вершины О, отрезки OD и OF,
равные ОА. Тогда четырехугольник ACDF будет квадратом.. Действительно, все четыре треугольника АО АС, AOCD, AODF и A OF А, очевидно, равны между собой и каждый из них есть равнобедренный прямоугольный треугольник. Поэтому, все 8 острых углов этих треугольников, при вершинах А, С, D, F равны 45°, и следовательно, все углы при вершинах четырехугольника ACDF прямые. Кроме того, из того же равенства треугольников следует, что AC=CD = DF=FA.

Итак, ACDF есть квадрат. Допустим, что его сторона АС
(являющаяся диагональю квадрата ОАВС) соизмерима с единицей масштаба ОА и пусть длина АС равна рациональному числу а. Тогда площадь квадрата ACDF равна С другой стороны,

ибо квадрат ACDF составлен из четырех треугольников, каждый из которых равен Но точно из таких же треугольников, , составлен прямоугольник FEBC. Следовательно, пл. FEBC=4 пл. ОАС =пл. ACDF. Вычисляя, получим

Итак, если длина АС равна а, то Но, согласно
теореме § 5, рационального числа, квадрат которого равен 2, не существует.

Таким образом, допустив, что диагональ квадрата соизмерима с его стороной, мы пришли к противоречию, тем самым мы убедились в существовании несоизмеримых отрезков.

Следовательно, рациональных чисел недостаточно для целей измерения отрезков. Именно, при любом выборе единицы масштаба найдутся отрезки несоизмеримые с этой единицей, и потому длины их не могут быть выражены в рациональных числах.

Однако наглядное представление о длине отрезка имеет смысл, независимо от того, соизмерим отрезок с выбранной единицей измерения или нет. По своим свойствам длины отрезков совершенно аналогичны числам. Так же, как и числа, их можно сравнивать по величине. Далее, мы понимаем, что представляет собой сумма длин двух данных отрезков — это есть длина отрезка, который может быть разбит на два отрезка, равных данным. Таким образом, длины отрезков, подобно числам, можно складывать.

Если отрезок соизмерим с единицей масштаба, то его длина есть рациональное число. Будем считать, что длина отрезка, несоизмеримого с единицей масштаба, тоже есть число, но только это число является числом новой природы—«иррациональным», выходящим за пределы совокупности рациональных чисел.

Совершенно такое же положение, как с измерением длин отрезков, имеет место при измерении других величин, когда оно осуществляется посредством сравнения с некоторой величиной, принятой за единицу.

Так можно представить себе, например, кусок железа, вес которого несоизмерим с единицей веса — граммом. Действительно, примем, для простоты рассуждения, что удельный вес железа точно равен 7,8. Тогда железный брусок, сечение которого равно точно а длина равна длине диагонали квадрата со стороной 1 см, не может иметь вес, выраженный в целых долях грамма. Действительно, вес такого бруска должен равняться p = 7,8 d г, где d— длина бруска, и если бы р выражалось рациональным числом граммов, то выражалось бы рациональным числом сантиметров, что, как мы видели, не имеет места *).

Таким образом, для измерения веса тел рациональных чисел оказалось тоже недостаточно. То же самое имеет место при измерении любой величины, могущей изменяться непрерывно. Для измерения таких величин тоже необходимо привлечение иррациональных чисел.

Итак, иррациональные числа суть числа, служащие для измерения величин, несоизмеримых с выбранной единицей измерения.

Такое определение вполне согласуется с представлением о понятии числа как результата измерения величины. Ведь числа и должны являться средством для описания результата измерений каких-либо величин — длины отрезков, площадей, объемов, промежутков времени, температуры, силы и т. д.

Введение иррациональных чисел совершенно аналогично введению дробных чисел в дополнение к ранее изученным целым. Ведь и в арифметике дробные числа появляются из потребности измерения величин, допускающих дробление на равные части.

В дальнейшем при описании свойств иррациональных чисел, в частности при описании способа их записи при помощи цифр (§ 10) и свойств действий (§ 12 —14), мы будем исходить из более узкого, геометрического, определения иррационального числа. Именно, иррациональные числа суть числа, служащие для измерения длин отрезков, несоизмеримых с единицей масштаба.

Такое сужение задачи измерения (вместо любых величин мы рассматриваем отрезки) не является существенным, так как процесс измерения, посредством сравнения с единицей измерения, для любых величин ничем не отличается от процесса измерения отрезков. Поэтому, ограничиваясь геометрическим представлением об иррациональном числе как о длине отрезка, мы не проигрываем в общности в смысле широты возможных приложений, но выигрываем в простоте и наглядности.

С геометрической точки зрения иррациональное число ничем не «хуже» рационального. Например, нет никакого качественного отличия между длиной диагонали квадрата, стороной которого является единица масштаба, и диагональю прямоугольника, с длинами сторон 3 и 4, несмотря на то, что первая длина, как мы установили, есть иррациональное число, а вторая равна рациональному числу 5.

*) Конечно, наше рассуждение идеализировано — мы отвлеклись от атомного строения материи, представляя себе материю непрерывной, только при этом отвлечении приведенное выше рассуждение имеет силу.

Действительно, рассмотрим квадрат ABCD, длина стороны которого равна 7, и впишем в него другой квадрат так, как показано на рис. 33. Площадь ABCD равна 49, треугольники aDd и bсВ, будучи сложены по гипотенузе, образуют прямоугольник с длинами сторон 3 и 4, площадь которого равна 12. Треугольники аАb и
dcC вместе имеют площадь тоже 12.

Следовательно, площадь abcd равна 49— 12 —
— 12 = 25 и потому ab = 5.

Мы дали выше определение только положительным иррациональным числам.
Отрицательные иррациональные числа определяются подобно отрицательным рациональным числам. Именно, каждому положительному иррациональному числу сопоставляется противоположное ему отрицательное. Так же, как для рациональных чисел, отрицательные иррациональные числа можно связать с величинами направленных отрезков.

Все рациональные и иррациональные числа, положительные, отрицательные и нуль, вместе называются действительными или вещественными числами.

Присоединение к рациональным числам чисел иррациональных, т. е. переход от совокупности рациональных чисел к совокупности всех действительных чисел, является очередным и предпоследним шагом в расширении понятия числа. Так же, как и предшествующие расширения понятия числа (переход от натуральных чисел к любым рациональным положительным числам целым и дробным; введение отрицательных чисел), введение иррациональных чисел расширяет возможности
приложений математики. Следует отметить, что могущественные методы так называемой высшей математики, изучающей прежде всего переменные величины, изменяющиеся непрерывно, не могут быть обоснованы без пользования всеми действительными числами.

Вместе с тем и в пределах самой алгебры введение иррациональных чисел вносит общность и простоту. В частности, действие извлечения корня из положительного числа, не всегда осуществимое в области рациональных чисел, становится осуществимым всегда при переходе в область чисел действительных, как мы увидим далее в § 14.

Изображение действительных чисел на числовой оси. Неравенства

Мы видели раньше, что каждое рациональное число — целое или дробное, положительное или отрицательное — может быть изображено точкой на прямой линии, так называемой числовой оси.

Числовая ось есть направленная прямая с выбранной точкой отсчета О и с выбранной единицей масштаба (рис. 34). Изображением рационального числа а является точка А, расстояние которой от точки отсчета равно абсолютной величине а, и отрезок ОА направлен по направлению прямой или в противоположном направлении в соответствий со знаком числа а.

Совершенно так же мы можем изобразить в виде точки и любое иррациональное число. Именно, чтобы построить изображение иррационального числа, нужно от точки отсчета О отложить в сторону направления прямой или в противоположную, в зависимости от знака a, отрезок, длина которого в данном масштабе равна числу | а |. Точка, являющаяся концом этого отрезка, и будет изображением числа а.

Принято для сокращения речи говорить вместо «точка, изображающая число а» просто «точка а», т.е. как бы отождествлять число с точкой, являющейся его изображением.

Таким образом, каждое действительное число, рациональное или иррациональное, изображается в виде точки на числовой оси.

Обратим внимание на то, что если ограничиться рациональными числами, то мы получим, что не все точки числовой оси являются изображением чисел. Так, если мы отложим от точки отсчета отрезок, равный диагонали квадрата со стороной, равной единице, то построенная точка не будет изображением рационального числа. Таким образом, если представить себе изображенными на числовой оси все рациональные числа, то не вся числовая ось будет покрыта их изображениями. Найдутся точки числовой оси, не являющиеся изображениями рациональных чисел, так что числовая ось будет как бы «просвечивать» сквозь совокупность изображений рациональных чисел.

Но изображения всех действительных чисел, рациональных и иррациональных, заполняют уже всю числовую ось.

В самом деле, любая точка А числовой оси является изображением некоторого действительного числа, положительного или отрицательного, в зависимости от того, с какой стороны от начальной точки О точка А находится. Абсолютная величина этого числа равна длине отрезка ОА. Такое число существует, ибо в области всех действительных чисел каждый отрезок имеет длину, выражаемую числом.

Для действительных чисел естественным образом определяются понятия «больше» и «меньше». Если заданы два неравных отрезка, то из них бoльшим считается тот отрезок, на который целиком укладывается другой меньший отрезок. Соответственно, из двух положительных действительных чисел считается бoльшим то, которое является длиной большего отрезка.

Далее, каждое положительное число, по определению, больше нуля и больше каждого отрицательного числа, а из двух отрицательных чисел больше то, абсолютная величина которого меньше. Так же, как для рациональных чисел (см. гл. II первой части книги), легко установить, что при изображении действительных чисел точками на числовой оси, направленной слева направо, большее из двух чисел изображается точкой, лежащей правее.

Такое изображение действительных чисел вносит наглядность в понятие «больше» и «меньше» в применении к любым действительным числам.

Приближения к действительным числам

К любым действительным числам можно приблизиться
посредством рациональных чисел. Приближением с недостатком к действительному числу а с точностью, например, до называется такое рациональное число r, что но уже больше а.

Особенно удобно рассматривать десятичные приближения. Десятичным приближением с недостатком к действительному числу а с точностью до (или, как говорят тоже, с точностью до
единицы m-го знака после запятой) называется десятичная дробь r с m цифрами после запятой и такая, что но

Очевидно, что число получается из числа r посредством увеличения последней цифры на одну единицу.

Число называется десятичным приближением к числу r с избытком с точностью до.

Например, десятичными приближениями к числу с недостатком являются 0,3 (с точностью до 0,1); 0,33 (с точностью до 0,01); 0,333 (с точностью до 0,001) и т.д. Соответственно приближениями с избытком являются 0,4; 0,34; 0,334 и т.д.

К числу приближениями с недостатком будут: 2,2 (с точностью до 0,1); 2,25 (с точностью до 0,01); 2,250 (с точностью до 0,001); 2,2500 (с точностью до 0,0001) и т.д. Здесь все приближения, начиная с 2,25, равны между собой и равны числу .

Мы рассмотрели примеры приближений к рациональным числам. Подобным образом можно строить приближения и к числам иррациональным. Например, десятичные приближения к иррациональному числу (которым измеряется длина диагонали квадрата со стороной, равной единице) суть: 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; … , т.е. «приближенные значения» с соответствующей точностью.

Легко видеть, что последующее десятичное приближение с недостатком к данному действительному числу а получается из предшествующего посредством приписывания одной цифры без изменения предыдущих.

Чтобы установить это в общем виде, обратимся к геометрическому изображению чисел. Пусть есть десятичное приближение (с недостатком) к числу
а с точностью до единицы m-го знака после запятой. Тогда есть соответствующее приближение с избытком. Изображение числа а находится внутри (или на левом конце) промежутка от до

Разобьем этот промежуток на 10 равных частей (рис. 35). Длина каждой части будет равна, очевидно,

т. е. одной единице m + 1 знака. Следовательно, точки деления будут представлять собой десятичные дроби с
m + 1 знаками после запятой, целая часть и первые m знаков которых образуют десятичную дробь . Точка, изображающая число а попадет внутрь или на левый конец одного из десяти промежутков. Тогда числа, изображениями которых являются левый и правый концы этого промежутка, будут представлять собой соответственно десятичные приближения и к числу a c m + 1 знаком после запятой. Таким образом, при записи приближения в виде десятичной дроби все цифры в десятичной записи
действительно сохраняются, и только добавляется одна новая цифра.

Представим теперь себе, что мы смогли найти все десятичные приближения к числу а, т.е. мы знаем, какая цифра на каком месте в этих приближениях находится. Представим себе все эти цифры записанными подряд, одну за другой, в том порядке, как они входят в десятичные приближения (с недостатком), мы получим так называемую бесконечную десятичную дробь. (Конечную десятичную дробь можно рассматривать как частный случай бесконечной, считая, что все цифры, начиная с некоторой, равны нулю.) Отрезки бесконечной десятичной дроби, т.е. дроби, составленной из конечных последовательностей ее цифр, являются десятичными приближениями (с недостатком) к действительному числу а.

Естественно считать, что эта бесконечная дробь является записью положительного действительного (рационального или иррационального) числа с помощью цифр. Каждое действительное число вполне
определяет такую запись, и неравные действительные числа определяют различные бесконечные десятичные дроби, так как если два действительных числа неравны, т.е. изображаются различными точками на числовой оси, то их приближения с недостатком должны различаться при достаточно большой точности, т.е. при достаточно большом числе цифр после запятой.

Приближение с недостатком может совпадать с предыдущим приближением , только если m+ 1-я цифра после запятой есть 0.

Приближение с избытком может совпадать с предыдущим приближением только если m+1-я цифра (в приближении с недостатком) есть 9.

Заметим, что по определению приближения с избытком оно не может совпадать ни при каком n с приближаемым действительным числом.

Отсюда нетрудно установить (но мы не будем на этом останавливаться), что десятичные приближения с избытком не могут оставаться неизменными, начиная с некоторого места. Поэтому записью положительного действительного числа не может быть бесконечная десятичная дробь с девяткой в периоде.

Мы рассмотрели десятичную запись для положительных действительных чисел. Для записи отрицательного числа достаточно записать в виде бесконечной десятичной дроби его абсолютную величину и поставить знак минус.

Итак, каждое действительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби (без девятки в периоде). Справедливо и обратное утверждение, что каждая бесконечная десятичная дробь (без девятки в периоде) является записью некоторого действительного числа. Доказательство последнего утверждения теснo связано с так называемым свойством непрерывности прямой линии, изложению сущности которого посвящен следующий § 11.

Отметим один важный случай, в котором бесконечные десятичные дроби появляются естественным образом. В § 6 мы доказали, что из любого положительного числа можно приближенно извлечь корень любой степени с любой точностью*). Составляя последовательные десятичные приближения (с недостатком) к , мы получим ряд конечных десятичных дробей, из которых каждая последующая получается посредством приписывания одной цифры к предыдущей. Например, для мы получим 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421;1,414213 и т. д.

Представив себе этот процесс продолжающимся безгранично, мы получим бесконечную десятичную дробь. Естественно предполагать, что эта бесконечная десятичная дробь есть запись действительного числа, являющегося точным значением Например, = 1,414213… (Строгое доказательство этого мы проведем в § 14.)

Замечание. Можно доказать, что бесконечная десятичная дробь является записью рационального числа в том и только в том случае, если она периодическая.

В гл. VI будет доказана одна сторона этого утверждения, именно, что всякая периодическая десятичная дробь действительно является записью некоторого рационального числа.

*) При доказательстве рассматривались, конечно, только рациональные подкоренные числа, однако все рассуждения легко перенести на любые действительные числа.

Свойство непрерывности совокупности действительных чисел

Мы установили, что всякое действительное число может быть задано в виде бесконечной десятичной дроби. Значительно сложнее доказывается, что всякая бесконечная десятичная дробь (без девятки в периоде) может служить записью некоторого действительного числа. Доказательство этого утверждения тесно связано с так называемым свойством непрерывности прямой линии.

Наглядная сущность свойства непрерывности прямой линии состоит в том, что между отдельными точками на прямой нет никаких пустот. Строго это свойство описывается одной из аксиом геометрии, так называемой аксиомой непрерывности.

Раньше, чем сформулировать эту аксиому, введем некоторые вспомогательные понятия.

Пусть на прямой даны два отрезка АВ и CD такие, что оба конца С и D отрезка CD лежат на отрезке АВ (т. e внутри или на концах его). Будем говорить, что отрезок CD вложен в отрезок АВ.

Теперь представим себе, что нам дана бесконечная совокупность отрезков из которых каждый последующий вложен в предыдущий. Предположим, кроме того, что длины отрезков становятся все меньше и меньше, неограниченно близко подходя к нулю (например, длина равна , длина равна , длина равна и т. д. — см. рис. 36).

Такая последовательность промежутков называется стягивающейся.

Теперь мы можем сформулировать аксиому непрерывности.

Аксиома. Для всякой стягивающейся последовательности промежутков на прямой существует точка, принадлежащая всем промежуткам последовательности.

Как было сказано выше, сущность аксиомы непрерывности состоит в том, что между точками, лежащими на прямой линии, нет никаких пустот. Действительно, в аксиоме непрерывности как раз и утверждается, что всякая стягивающаяся последовательность промежутков «стягивается» к точке, а не к «пустому месту».

Легко видеть, что точка х, к которой «стягивается» стягивающаяся последовательность промежутков, может быть только одна (рис. 7). В самом деле, если бы таких точек оказалось две, М и N, то длина каждого из промежутков последовательности была бы не меньше длины промежутка MN и, следовательно, эти длины не могли бы неограниченно приближаться к нулю.

Теперь легко доказать, что бесконечная десятичная дробь является записью некоторого действительного числа.

Пусть дана бесконечная десятичная дробь, например,

2,1211211121111211111…

(мы взяли дробь с такой закономерностью следования цифр: первая цифра есть двойка, вторая единица, затем двойка и две единицы, затем двойка и три единицы, затем двойка и четыре единицы и т. д. Ясно, что эта дробь не является периодической и, следовательно, не может являться записью рационального числа).

Рассмотрим на числовой оси отрезки и т. д., левые концы которых изображают числа 2; 2,1; 2,12; 2,121; 2,1211 и т. д., а правые концы изображают числа 3; 2,2; 2,13; 2,122; 2,1212 и т. д.

Таким образом, за левые концы промежутков мы принимаем точки изображающие последовательные «отрезки» данной бесконечной десятичной дроби, а за правые концы — точки изображающие числа, полученные из «отрезков» данной дроби посредством увеличения последней цифры на одну единицу.

Ясно, что каждый последующий отрезок вложен в предыдущий. Далее, длины построенных отрезков равны соответственно 1; ; эти длины неограниченно приближаются к нулю. Следовательно, нами построена стягивающаяся последовательность отрезков.

Обозначим через С точку, принадлежащую всем промежуткам этой последовательности, а через х действительное число, соответствующее точке С. Тогда

и т. д.

Из этих неравенств мы заключаем, что «отрезки» 2; 2,1; 2,12; 2,121;… являются десятичными приближениями с недостатком к числу х, и следовательно, бесконечная десятичная дробь, соответствующая числу х, совпадает с данной дробью 2,1211211121111…

Таким же образом можно рассуждать для любой другой бесконечной десятичной дроби.

Действительно, пусть дана бесконечная десятичная дробь (без девятки в периоде) Здесь обозначает целую часть дроби, последовательные цифры после запятой. Пусть есть «отрезок» этой дроби, есть дробь, получающаяся из увеличением последней цифры на одну единицу. Очевидно, что

Обозначим через точки на числовой оси, изображающие числа а через точки, изображающие числа Так как при любом n, отрезок вложен в отрезок т. е. в последовательности отрезков каждый последующий отрезок вложен в предыдущий.

Далее, длина равна , длина

равна и т. д., т. е. длины построенных промежутков неограниченно приближаются к нулю. В силу аксиомы непрерывности найдется точка С, принадлежащая всем
построенным отрезкам: Обозначим через х действительное число, соответствующее точке С. Тогда в силу того, что С принадлежит отрезку заключаем, что при всех n. Из этих неравенств непосредственно следует, что число х записывается данной десятичной дробью

Из аксиомы непрерывности непосредственно вытекает следующая теорема, которая, по сути дела, является алгебраической формулировкой аксиомы непрерывности. Теорема эта выражает свойство непрерывности совокупности всех действительных чисел.

Теорема. Пусть даны две бесконечные последовательности чисел такие, что при всех n и разности неограниченно приближаются к нулю при безграничном увеличении n. Тогда существует одно и только одно число х такое, что при всех n.

Для доказательства этой теоремы достаточно представить себе ее условие геометрически.

Рассмотрим на числовой оси отрезки Так мы обозначаем отрезок, концами которого являются точки, изображающие числа и т. д. Условие означает, что для отрезка точка является левым концом, точка — правым. Условия означают, что при переходе от отрезка к отрезку левый конец может сдвинуться только вправо, а правый — только влево , т. е. отрезок вложен в отрезок . Из неравенств заключаем, что отрезок вложен в отрезок и т. д., каждый отрезок совокупности вложен в предыдущий.

Наконец, неограниченное уменьшение разностей означает, что длины отрезков неограниченно уменьшаются. Таким образом, эти отрезки образуют стягивающуюся последовательность.

Согласно аксиоме непрерывности найдется одна и только одна точка х (т. е. точка, изображающая некоторое действительное число х) принадлежащая всем отрезкам последовательности. Но то, что х принадлежит отрезку , как раз и означает, что Это неравенство выполняется при любом значении n, так как точка х принадлежит всем отрезкам рассматриваемой стягивающейся последовательности.

Сложение и вычитание действительных чисел

Совокупность действительных чисел шире совокупности рациональных чисел— к рациональным числам присоединяются еще новые, иррациональные числа. Основные арифметические действия же определены пока только в применении к рациональным числам. Теперь необходимо распространить действия на все действительные числа. Этот вопрос требует специального рассмотрения, потому что при расширении совокупности чисел мы должны и действия над ними понимать в каком-то новом смысле, обобщающем прежний.

Ограничимся сначала положительными действительными числами и начнем с рассмотрения действия сложения. Дадим следующее определение.

Суммой двух положительных действительных чисел (рациональных или иррациональных) называется длина отрезка, получающегося сложением отрезков, длинами которых являются слагаемые числа. (Сложение отрезков здесь следует понимать в том же смысле, как в геометрии. Именно, чтобы сложить отрезки, нужно их «приложить» один к другому, т. е., взяв некоторую точку на прямой,, отложить от нее отрезок, равный одному из слагаемых отрезков, и от его конца отложить в ту же сторону отрезок, равный второму слагаемому. Отрезок, соединяющий начало первого отрезка с концом второго» и есть сумма данных отрезков.)

Сложение действительных чисел, согласно этому определению, является обобщением хорошо известного нам сложения положительных рациональных чисел. Действительно, если длины слагаемых отрезков выражаются рациональными числами, то в геометрии доказывается, что длина суммы отрезков равна сумме длин слагаемых отрезков. Если же один или оба отрезка несоизмеримы с единицей масштаба, т. е. длина одного из них или обоих не может быть выражена рациональным числом, то действие сложения отрезков сохраняет смысл и длина суммы двух отрезков, в силу данного выше определения действия сложения действительных чисел, тоже равна сумме длин слагаемых отрезков.

Из данного определения можно установить справедливость переместительного и сочетательного законов сложения

Мы не будем на этом останавливаться.

Далее, если a, b и с — положительные числа и а > b, то

Действительно, отрезки с длинами а и b можно расположить так, что они будут иметь общий конец N и отрезок MN с длиной b окажется частью отрезка KN с Длиной а (см. рис. 37).

Приложив к точке N отрезок NP длины с, мы получим, что MP есть часть КР. Но, согласно определению сложения действительных чисел, длина КР равна а + с, длина MP равна b + с. Следовательно, а + с > b + с.

Если a, b, c, d — действительные положительные числа и а > b, c > d, то

Действительно, a + c > b + c > b+d.

Установим теперь, как производится сложение положительных действительных чисел, записанных в виде бесконечных десятичных дробей. Обратимся к численному примеру. Из таблиц известно, что

Составим, например, десятичные приближения с тремя знаками после запятой с недостатком и с избытком к каждому из этих чисел. Это будут 1,732 и 1,733 для и соответственно 1,414 и 1,415 для Отсюда заключаем, что

Следовательно, в силу только что доказанных свойств неравенств,

т. е. истинным трехзначным приближением (с недостатком) к числу является 3,146 или 3,147.

Таким образом, взяв в записи для и по три цифры после запятой и сложив полученные приближения с недостатком, мы получаем трехзначное приближение для в котором последняя цифра не достоверна — может быть, ее нужно увеличить на одну единицу.

Таким же образом, исходя из восьмизначных приближений, мы получим, что Последняя цифра здесь не достоверна, ибо, привлекая, как раньше, приближение с избытком, мы получим так что, может быть, в десятичном восьмизначном приближении (с недостатком) следует последнюю цифру увеличить на одну единицу.

Для того чтобы узнать, нужно ли это сделать, надо знать девятые цифры для и Если окажется, что их сумма меньше 9, то восьмой цифрой в записи числа является цифра 6. Если сумма девятых цифр больше 9, то восьмой цифрой в записи является 7. Если, наконец, сумма девятых цифр равна 9, то для установления точной восьмой цифры для пришлось бы привлечь десятые, а может быть и одиннадцатые (если бы оказалось, что и сумма десятых цифр равна 9) цифры.

Выскажем теперь в общем виде некоторые выводы из проведенного исследования.

Если действительные числа х и у заданы при помощи бесконечных десятичных дробей, то чтобы получить m-значное приближение (с недостатком) к их сумме х + у, нужно сложить m-значные десятичные приближения (с недостатком) для чисел х и у. При этом последняя цифра будет недостоверной, возможно, что ее нужно увеличить на одну единицу, что можно выяснить, только зная следующие цифры.

Чтобы получить надежные границы для х + у, нужно взять m-значные приближения с недостатком и с избытком к слагаемым числам и соответственно сложить их. В результате мы получим два числа, между которыми заключена сумма х + у. Разность между полученными границами равна двум единицам последнего знака, т. е. может быть сделана сколь угодно близкой к нулю.

Перейдем теперь к действию вычитания положительных действительных чисел в предположении, что уменьшаемое больше вычитаемого.

Вычитание определяется как действие, обратное сложению, т. е. как действие, посредством которого по данной сумме и одному из слагаемых определяется второе слагаемое. Геометрический смысл вычитания в рассматриваемом случае ясен (рис. 38)

Если действительные числа х и у заданы при помощи бесконечных десятичных дробей, то, чтобы получить m-значное десятичное приближение к разности х — у, нужно вычесть m-значные десятичные приближения (с недостатком) для чисел х и у. Так же, как при сложении, последняя цифра будет недостоверной, может быть, ее следует уменьшить на одну единицу.

Чтобы получить надежные границы для х—у, следует из
приближения с недостатком для х вычесть приближение с избытком для y, а из приближения с избытком для х приближение с недостатком для у. Разность между полученными таким образом границами равна двум единицам последнего знака.

Так, Отсюда следует, что

После того как действия сложения и вычитания для
положительных действительных чисел определены, они распространяются на действительные числа любых знаков по тем же правилам, как это делается для рациональных чисел.

Так, сумма двух отрицательных действительных чисел равна сумме их абсолютных величин со знаком минус, сумма двух чисел, имеющих противоположные знаки, равна по абсолютной величине разности абсолютных величин слагаемых и берется со знаком слагаемого, имеющего большую абсолютную величину. Наконец, разность двух любых действительных чисел равна сумме уменьшаемого и числа, противоположного вычитаемому.

Умножение и деление действительных чисел

Исходя из определения действительного числа, как длины отрезка, естественнее всего определить произведение двух положительных чисел а и b как длину отрезка, получаемого известным из геометрии
построением первого члена пропорции Построение это таково.

Берется произвольный угол POQ (рис. 39). На одной из его сторон откладываются отрезок ОК, длина которого равна единице, и отрезок ОМ с длиной а. На другой стороне откладывается отрезок OL с длиной b. Точки К и L соединяются прямой линией. Через точку М проводится прямая MN, параллельная KL, пересекающая сторону ОР в точке N Длина ON
и есть х.

Действительно, если отрезки ОМ и OL соизмеримы с единицей масштаба ОK, т. е. их длины выражаются рациональными числами, то в геометрии доказывается, что длина ON равна ab, так что умножение действительных чисел, согласно данному определению, содержит обычное умножение рациональных чисел как частный случай.

Можно доказать справедливость переместительного и сочетательного законов умножения: ab = ba и (ab)c=a(bc), а также справедливость распределительного закона )для сложения с умножением а(b + с) = ab + ас, но мы на этом останавливаться не будем.

Далее, если — положительные действительные числа и то В самом деле, если то отрезок с длиной длиннее отрезка ОМ с длиной а (рис. 40). Следовательно, и длиннее ON, т. е.

Далее, если — положительные числа и то Действительно,

Последнее неравенство дает возможность строить приближения к произведению двух действительных чисел, если они заданы бесконечными десятичными дробями. Именно, умножив приближения с недостатком к положительным числам х и у, мы получим результат, меньший чем х у, а если умножим приближения с избытком, то полупившийся результат будет больше х у. Исходя из более точных приближений, мы будем получать для х у все более тесные границы, так что сможем получить х у с любой степенью точности.

Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим вопрос в общем виде. Пусть —десятичные приближения с недостатком и с избытком к числу х с точностью до и пусть — такие же приближения к числу у. Тогда и, следовательно, т. е являются приближениями к х у с недостатком и с избытком.

Однако разность между этими приближениями может быть больше и даже значительно больше, если числа х и у больше. Действительно,

т. е. эта разность приблизительно равна

Например, умножив m-значные десятичные приближения с недостатком для чисел и, мы получим приближение с недостатком для c точностью лишь до т. е с точностью около 3 единиц последнего знака.

Однако при беспредельном увеличении числа знаков т мы получим беспредельное усиление точности, так что если нам известны бесконечные десятичные дроби для множителей, мы можем построить любое Число цифр и для их произведения.

Действие деления положительных действительных чисел определяется как действие, обратное умножению, т. е. как действие, посредством которого по данному произведению и одному из сомножителей определяется второй сомножитель.

При представлении действительных чисел в виде длин отрезков отрезок, длина которого равна частному от деления длин двух данных отрезков, строится подобно произведению. Именно, на рис. 39 нужно считать отрезок ON данным, а отрезок ОМ искомым.

Приближения к частному получаются посредством деления приближения с недостатком к делимому на приближение с избытком к делителю и делением приближения с избытком к делимому на приближение с недостатком к делителю, так как

Так же, как при умножении, разность беспредельно уменьшается при безграничном возрастании числа десятичных знаков m.

Распространение умножения и деления на любые действительные числа, положительные и отрицательные, делается по обычным, правилам: абсолютная величина произведения или частного равна соответственно произведению или частному абсолютных величин. Произведение и частное двух чисел, имеющих одинаковые знаки, положительно.
Произведение и частное двух чисел, имеющих противоположные знаки, отрицательно. Действие деления на нуль по-прежнему остается невозможным и в области всех действительных чисел.

Возведение в степень и извлечение корня

Степень действительного числа а с натуральным показателем n есть произведение n сомножителей, равных а.

Возведение в степень становится особенно наглядным, если ввести в рассмотрение график зависимости (рис. 41) Если представить себе, что этот график построен идеально точно, то задача возведения числа а в степень сводится к измерению ординаты точки на графике, абсцисса которой равна a.

Зная бесконечную десятичную дробь для числа а, мы можем найти его степень с любой степенью точности. Для этого нужно возвысить в n-ю степень достаточно точное десятичное приближение (с недостатком или с избытком) к числу а.

Для того чтобы это строго доказать, докажем предварительно следующие две теоремы.

Теорема 1. Если а и b два положительных действительных числа и а > b, то при любом натуральном n.

Эта теорема для рациональных чисел а и b была доказана в § 3 (теорема 1). Доказательство дословно переносится и на случай произвольных действительных положительных чисел а и b, так как используемые в доказательстве леммы были установлены в § 13 при изучении действия умножения действительных чисел.

Теорема 2. Если при любом натуральном m.

Доказательство. Для m= 2 теорема верна, ибо

Построим дальнейшее доказательство, воспользовавшись- методом математической индукции.

Пусть теорема уже доказана для показателя m—1, т. е. уже установлено что

В этом предположении докажем теорему для показателя m. С этой целью в разность вставим выражение со знаками минус и плюс. Получим

Во втором слагаемом оба множителя положительны.

Далее, в силу индукционного предположения, меньше Следовательно,

Теорема доказана пока условно: если теорема верна для показателя m— 1, то она верна и для показателя m. Но для m = 2 она верна. Следовательно, она верна и для m= 3, а раз она верна для m= 3, то верна для m= 4 и т. д. Теорема верна для всех натуральных показателей т, что и требовалось доказать.

Далее поступаем так. Зная бесконечную десятичную дробь для числа a, составляем десятичные приближения для числа а с недостатком и с избытком с m цифрами после запятой. Тогда В силу теоремы 1 будут верны и неравенства т. е. мы смогли заключить между двумя границами которые можно вычислить. Можно доказать, что эти границы становятся все более тесными, если брать число цифр m все больше и больше. Таким образом, мы можем определить с любой степенью точности.

Строгое доказательство того, что границы действительно неограниченно сближаются, основывается на теореме 2. Обозначим через А наименьшее целое число, большее а. Тогда при любом m

Рассмотрим разность

В силу теоремы 2

откуда следует, что разность действительно беспредельно уменьшается при увеличении числа цифр m. Обратимся теперь к действию извлечения корня.

Определение. Корнем n-й степени из действительного
числа b называется такое число х, что

Положительное значение корня n-й степени из положительного числа называется арифметическим значением корня.

Таким образом, определения степени, корня и арифметического значения корня для действительных чисел остаются совершенно такими же, как для рациональных чисел. Однако в области действительных чисел верна следующая теорема.

Теорема 3. Арифметическое значение корня любой степени из любого положительного числа всегда существует.

В области рациональных чисел такое утверждение было неверным — не существует, например, рационального значения Смысл этой теоремы ясен: извлечь корень n-й степени из данного числа b— значит измерить абсциссу точки на графике зависимости ордината которой равна b, а существование такой точки геометрически очевидно.

Однако для того, чтобы это геометрически наглядное рассуждение сделать строгим, нужно было бы доказать, что при непрерывном возрастании числа х число возрастает тоже непрерывно, т. е. проходит через все действительные числа. Это же в свою очередь равносильно доказательству теоремы о существовании корня.

Теорема о существовании корня более строго доказывается так:

Пусть дано число b > 0 и показатель n. Найдем две соседние десятичные дроби с m цифрами после запятой такие, что

Такие дроби существуют в силу возрастания степени с возрастанием основания (теорема 1, § 14). Числа представляют собой «приближенные значения для с точностью до с недостатком и с избытком.

Для того чтобы перейти от приближенных значений к следующим, мы должны разбить промежуток на 10 равных частей. Так как

то найдутся такие соседние точки деления что

Эти точки и дают приближенные значения с m + 1 цифрой после запятой.

Таким образом, отрезок вложен в отрезок .

Совокупность отрезков есть стягивающаяся последовательность, ибо каждый последующий отрезок вложен в предыдущий, а их
длины безгранично приближаются к нулю. Согласно аксиоме непрерывности, найдется одно и только одно число а, принадлежащее всем этим промежуткам, т. е. удовлетворяющее неравенствам

при всех m.

Рассмотрим промежутки с концами . Они тоже образуют систему вложенных промежутков, и их длины беспредельно убывают с возрастанием m, что было установлено выше. Следовательно, существует одно и только одно число, принадлежащее всем этим промежуткам. Но перед нами имеются два таких числа —во-первых, b ибо

во-вторых, , ибо следует

Следовательно,

т. е. а есть арифметическое значение

Замечание. Определения основных действий — сложения, вычитания, умножения и деления — можно дать, не опираясь на геометрические представления, используя лишь свойство непрерывности совокупности действительных чисел. Рассмотрим, например, сложение. Пусть десятичные приближения с недостатком и с избытком к числам х и у. Тогда и при m= 1, 2, 3, …образуют концы вложенных промежутков, длины которых безгранично убывают при неограниченном возрастании т. В силу свойства непрерывности существует одно и только одно число z, лежащее во всех этих промежутках, т. е. удовлетворяющее неравенствам

Его и следует, по определению, считать суммой чисел х и у.

Аналогичным образом можно дать чисто алгебраические определения для остальных действий.

Извлечение корня из произведения, дроби и степени

Возвращаемся к свойствам корней любой степени из числа. В формулировках теорем мы будем предполагать, что все числа, участвующие в действии, положительны и значения корней имеются в виду арифметические (т. е. положительные). Без этих предположений некоторые из теорем могут оказаться неверными, что будет оговорено в специальных замечаниях.

При действиях над корнями постоянно приходится пользоваться тождеством

и, в частности,

Эти тождества непосредственно следуют из определения корня. Действительно, есть такое число, которое при возведении в n-ю степень дает а. Следовательно,

Верно и следующее полезное тождество. Если а положительно, то

Действительно, по определению арифметического значения корня, есть такое положительное число, которое, при возведении в степень с показателем n, дает . Таким числом является а, и других положительных чисел, удовлетворяющих этому требованию, не существует в силу единственности арифметического значения корня из положительного числа. Следовательно,

Заметим сразу, что это утверждение неверно для четного показателя n и отрицательного a. Например, а, не —2, и вообще но не всегда

Теорема 1. Корень из произведения двух или нескольких положительных чисел равен произведению корней той же степени из сомножителей, т. е.

Доказательство. По свойству степени произведения,

Итак, при возведении в n-ю степень дает а b..k. Поэтому есть одно из значений

Далее, есть число положительное, так как все a, b,…,k положительны и значения корней арифметические. Следовательно, есть арифметическое значение корня n-й степени из числа ab… k, т. е.

что и требовалось доказать.

Замечание. Без предположения положительности множителей теорема теряет смысл, если п есть четное число, и ее неправильное применение может привести к получению нелепых результатов. Например,

и, по определению корня, Получили нелепость: 1 = —1. Здесь все дело в том, что в ходе выкладки мы, неправильно применив теорему 1, ввели в рассмотрение выражение не имеющее смысла в области действительных чисел.

Если же еще расширить понятие числа, введя так называемые комплексные числа (что будет сделано в гл. IX книги), то выражение становится осмысленным, но в области комплексных чисел теорема 1 перестает быть верной в данной ее формулировке. Будет верна лишь следующая ослабленная формулировка:

Теорема 2. Корень из частного от деления двух положительных чисел равен частному от деления корней той же степени из делимого и делителя, т. е.

Доказательство. и следовательно, есть одно из значений именно арифметическое, так как числа а и b положительны и корни арифметические.

Теорема 3. Значение корня из положительного числа не изменится, если подкоренное» число возвысить в некоторую степень и одновременно умножить показатель корня на показатель той степени, в которую возведено подкоренное число, т. е.

Доказательство. Согласно правилу возведения степени в
степень

Следовательно, есть одно из значений корня степени nk из числа Так как, по предположению, а положительно и как арифметическое значение корня, тоже положительно, то есть арифметическое значение корня степени nk из числа , т. е.

что и требовалось доказать.

Замечание. При отрицательном а теорема оказывается, вообще говоря, неверной. Например, есть отрицательное число, а есть число положительное. Следовательно, не равно

Умножение и деление корней

Теоремы 1—3 § 15 позволяют упрощать результаты действий умножения и деления над корнями из положительных чисел.

Рассмотрим вопрос об умножении корней. Если нужно перемножить корни из нескольких чисел с одинаковыми показателями, то, согласно теореме 1, достаточно умножить их подкоренные числа и написать произведение под знаком корня с тем же показателем. Действительно,

Если же показатели перемножаемых радикалов различны, то нужно предварительно привести4 все радикалы к общему показателю. Это делается посредством умножения каждого показателя на подходящий дополнительный множитель одновременно с возведением в ту же степень подкоренного числа. За общий показатель следует принять общее кратное показателей перемножаемых радикалов. Например,

Подобным же образом следует поступить при делении корней. Именно, если корни имеют одинаковый показатель, то при их делении следует разделить их подкоренные числа под знаком корня с тем же показателем, ибо

Если же показатели корней делимого и делителя различны, то следует привести их предварительно к общему показателю. Например,

Указанные преобразования часто оказываются полезными, так как они позволяют привести результат действия умножения и деления над несколькими корнями к такому виду, что действие извлечения корня
приходится делать только один раз.

Возведение корня в степень и извлечение корня из корня

Теорема 1. Для возведения корня в степень достаточно
возвысить в ту же степень подкоренное число, т. е.

Доказательство.

и следовательно, по правилу умножения корней с одинаковым показателем,

что и требовалось доказать.

Заметим, что после возведения корня в степень, согласно теореме 1, иногда удается сократить показатели степени и корня, воспользовавшись теоремой 3 § 13. Действительно, в силу этой теоремы,

Таким образом, если под знаком радикала находится степень некоторого положительного числа и показатель степени имеет с показателем корня общий множитель, то можно, не изменив значения корня,
сократить на этот множитель, т. е. отбросить его как в показателе степени, так и в показателе корня.

Во втором примере возможно «сокращение», так как и следовательно,

Теорема 2. Для того чтобы извлечь корень из корня,
достаточно перемножить их показатели, не меняя подкоренного числа, т. е.

Доказательство. согласно теореме 1
§ 15 и теореме 3 § 13. Следовательно, по определению корня,

что и требовалось доказать.

Пример.

Замечание. Установленные теоремы верны безоговорочно лишь в обычных предположениях, что речь, идет об арифметических значениях корней из положительных чисел.

Вынесение рационального множителя из-под знака корня и введение его под знак корня

Теорема. Если а и b— положительные числа, то

Доказательство. Мы видели, что Следовательно,

что и требовалось доказать.

Формула применяется двумя способами. Иногда она применяется в чтении «слева направо», т. е. заменяется на

Пусть, например, нам нужно вычислить с точностью до 0,01. Если мы вычислим с точностью до 0,01 и результат умножим на 5, то мы получим некоторое приближение значения для его погрешность окажется в пять раз больше погрешности исходного приближения . Целесообразнее ввести множитель 5 под знак корня, воспользовавшись доказанной теоремой. Получим

затем вычислим обычным способом с точностью до 0,01. Действительно, приближенное значение к с точностью до 0,01 есть Таким образом, введение множителя 5 под знак радикала уменьшает погрешность на 0,02.

При извлечении корня из произведения числа на корень тоже целесообразно вводить множитель под знак корня, например

Чаще бывает целесообразно применять ту же формулу, читая ее «справа налево», именно — выносить множитель из-под знака радикала, если он имеется в подкоренном выражении с показателем, равным показателю корня, например

Однако при преобразовании корня этим способом нужно твердо помнить, что формула выведена в предположении положительности чисел а и b. Мы не можем, например, записать безоговорочно, что Это равенство верно для а > 0 но для а < 0 оно неверно. Преобразование выражения , верное при всех действительных значениях а, есть

Поэтому при вынесении буквенного множителя из-под знака радикала с четным показателем необходимо записывать этот множитель под знаком абсолютной величины, если только заранее не делается оговорка о его положительности.

Вынесение множителя из-под знака корня удобно применять к извлечению корня из дроби.

При этом следует пользоваться формулой непосредственно вытекающей из теоремы 1 этого параграфа.

Действительно,

При преобразовании корня n-й степени из дроби посредством этой формулы нужно предварительно умножить числитель и знаменатель подкоренного выражения на такой дополнительный множитель, чтобы в результате умножения в знаменателе получилась полная n-я степень.

Подобные радикалы и их сложение

Вообще говоря, сумма или разность двух различных корней не может быть приведена к более простому виду. Например, никакими преобразованиями нельзя упростить выражение Но в одном частном случае упрощающие преобразования возможны, именно, если слагаемые радикалы подобны.

Подобными называются такие радикалы, которые, во-первых, имеют одинаковую степень и, во-вторых, могут быть преобразованы к произведениям одного и того же радикала на рациональные числа или рациональные выражения. Например, и подобны, ибо

Два радикала n-й степени подобны в том и только в том случае, если отношение их подкоренных выражений есть n-я степень рационального числа или рационального выражения.

Для того чтобы сложить или вычесть подобные радикалы, нужно предварительно сделать такие вынесения множителей из-под знака корня, чтобы подкоренные выражения оказались равными, и после
этого сделать вынесение радикала за скобку, например

Если же я алгебраической сумме, содержащей радикалы, не все радикалы подобны, то следует порознь объединить все подобные между собой радикалы.

Исключение иррациональности в знаменателе

Дробное выражение, в знаменатель которого входят радикалы, может быть преобразовано к виду дроби, не содержащей радикалов в знаменателе. Такого рода преобразования называются исключением иррациональности в знаменателе.

Мы рассмотрим лишь некоторые частные случаи этого преобразования.

Случай 1. Знаменатель есть радикал, т. е. дробь имеет вид

В этом случае нужно подобрать дополнительный множитель к подкоренному числу до полной n-й степени и затем умножить числитель и знаменатель дроби на корень n-й степени из этого дополнительного множителя.

Пример. Исключить иррациональность в знаменателе

Решение. Умножим числитель и знаменатель на Получим

Пример. Исключить иррациональность в знаменателе

Решение. Умножим числитель и знаменатель на Получим

Случай 2. Знаменатель есть сумма или разность рационального выражения и квадратного радикала, т.е. дробь имеет вид

В этом случае целесообразно умножить числитель и знаменатель на выражение или соответственно на выражение Получим

Таким же образом

Радикальные выражения вида и часто называют сопряженными радикальными выражениями. Таким образом, в рассматриваемом случае для исключения иррациональности в знаменателе нужно умножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное со знаменателем.

Пример.

Пример.

Случай 3. Знаменатель есть сумма или разность двух квадратных корней, т. е. дробь имеет вид

Здесь применяется тот же прием, что и в предыдущем случае.

Пример. Исключить иррациональность в знаменателе дроби

Пример. Исключить иррациональность в знаменателе дроби

Решение. Избавимся сначала от в знаменателе. С этой целью умножим числитель и знаменатель дроби на Получим

Теперь умножим числитель и знаменатель на Получим

Пример. Исключить иррациональность в знаменателе дроби

Решение. Умножим числитель и знаменатель на «неполный квадрат суммы» чисел Получим

Расположенные многочлены

Многочлены с одной буквой

Мы знаем, что члены алгебраической суммы можно как угодно переставлять между собою: на основании переместительного закона сложения число­ вое значение суммы при этом не изменяется.

Все же для соблюдения порядка при записи многочленов обыкновенно соблюдают определенные пра­вила, касающиеся расположения отдельных членов.

Если многочлен содержит только одну букву, то члены его могут быть той или иной степени — в зависимости от того, каков показатель степени, стоящий при букве. Так, в многочлене член второй степени, член третьей степени, член первой степени, член пятой степени, член второй степени, член снова пятой. Если член не содержит буквы вовсе, то говорят, что этот член «нулевой» степени; такие члены чаще называют также свободными (подразумевают: свободными от буквы), В нашем примере имеется один свободный член .

Предположим, что уже выполнено приведение по­добных членов (т. е. членов одной и той же степени); тогда степени оставшихся членов непременно различны между собою. Наивысшую из степеней членов называют также степенью многочлена; член наи­высшей степени ради краткости называют старшим.

Многочлены первой степени называют также линейными.

При записи многочлена, зависящего от одной буквы, руководствуются следующим правилом: после приве­дения подобных членов располагают члены или в порядке убывания степеней, или в порядке их возрастания.

Таким образом получаются многочлены, расположенные по убывающим степеням буквы или по возрастающим степеням. В том и в другом случае более кратко говорят о расположенных многочленах.

Например, приведенный выше многочлен — пятой степени: будучи расположен по убывающим степеням буквы , принимает вид: .

Располагая его же по возрастающим степеням бук­вы , мы получим: .

В этом многочлене коэффициенты при степенях , , , , соответственно равны , , , , . На вопрос, каков коэффициент при степени , нужно ответить: он равен нулю.

Примечание. Следует обратить внимание на то обстоятельство, что после приведения подобных членов и иных случаях может остаться только один член или даже не остаться ни одного. Ради общности, чтобы избежать оговорок, и в этих случаях назы­вают то, что получится (одночлен или нуль), «многочленом».

В дальнейшем мы будем располагать многочлены по убывающим степеням входящей буквы.

Такие действия, как сложение и вычитание данных многочленов, расположенных по степеням од­ной и той же буквы, а также умножение расположенного многочлена на некоторое число, совершаются по общим правилам.

Иногда при сложении и вычитании расположенных многочленов бывает удобно пользоваться систематиче­ской записью: писать «столбиком», заботясь о том, чтобы подобные члены стояли друг под другом. В таком слу­чае, если какого-нибудь члена не хватает, следует оставлять место пустым.

Пусть, например, даны многочлены: , , .

Тогда возможна следующая запись сложения:

Подобным же образам, чтобы вычислить разность , напишем:

Такая же запись не в меньшей степени удобна в том случае, если, например, требуется вычислить :

Можно рекомендовать множители , , выписывать по вертикали за чертой, и коэффициенты при степенях подсчитывать в уме: .

Умножение расположенных многочленов выполняется, конечно, по тому же правилу, что и умножение каких угодно многочленов: надо каждый член многочлена «множимого умножить на каждый член мно­гочлена-множителя и полученные одночлены сложить; разумеется, необходимо следить за порядком членов в про­изведении.

Применение систематической записи при умножении расположенных многочленов в более сложных случаях часто бывает существеннее» чем при сложении или вычитанием. Например, при умножении многочлена на многочлен можно писать «столбиком» сначала произведения многочлена-множимого на член , затем на член и, наконец, на член , потом складывать:

Из предыдущего видно, что всякое алгебраи­ческое выражение, содержащее только одну букву, мож­но представить в виде многочлена, расположенного по убывающим степеням буквы; для этого достаточно рас­крыть все скобки и затем, сделав приведение подобных членов, переставить члены в надлежащем порядке Получающийся в результате многочлен тождественно равен первоначальному выражению.

Для того чтобы проверить, не сделано ли ошибки при вычислении, часто производят числовую подстановку одного или нескольких значений входящей буквы.

Десятичная система счисления

Во всем мире люди считают десятками. Это, несомненно, зависит от устройства человеческой руки: маленькие дети прежде всего считают пальцы, или «по пальцам».

Римская цифра пять () изображает ладонь руки; римская цифра () образовалась из двух «ладоней», приставленных одна к другой.

Десять десятков составляют сотню; десять сотен — тысячу и т. д. Другими словами, единицы высших разрядов — это степени десяти: обозначая для краткости число буквой , мы получаем:

To обстоятельство, что степень такого большого числа, как десять, при увеличении показателя возрастает очень быстро, делает степени десяти пригодными для изображения чисел, как бы велики они ни были.

Если нужно изобразить, например, число , то смотрят прежде всего, какая самая большая степень десяти содержится в этом числе и сколько раз. Такой степенью оказывается четвертая: содержится она раза; итак, мы получаем , и еще остается . Здесь содержится раз третья степень: ; после того как отнимаем , останется еще . В этом новом остатке раз содержится вторая степень: . Затем, отняв . будем иметь число . В нем число содержится раз (что составляет ) и еще остается .

В этом числе никакая степень уже не содержится ни разу. Со­бирая вместе все отдельные части, на которые разбилось наше число, мы получаем: .

Итак, всякое целое положительное (натуральное) число за­писывается в виде многочлена, расположенного по степеням бук­вы, которая обозначает число : коэффициенты этого многочлена непременно целые положительные числа (они могут также равняться нулю и меньшие чем ).

Ясно, что справедливо обратное: всякий расположенный много­член, обладающий указанными свойствами, изображает целое положительное число.

Общеупотребительная запись является сокращенной: опущены плюсы и буква, заменяющие десятку в различных степенях.

Запись числа в виде многочлена, расположенного по букве , называется систематической.

Правила действий над многозначными числами (сложение, вычитание, умножение), которыми мы постоянно пользуемся, по существу, не отличаются от правил действий с многочленами и из них вытекают.

Так, сложение чисел и мы могли бы записать следующим образом: , и получили бы .

Однако, выполняя действия над многозначными числами, приходится нередко преодолевать своеобразную трудность — «переход через десяток». Если бы, например, нужно было сложить числа и , то запись привела бы к правильному результату, который, однако, трудно было бы прочесть по десятичной системе, так как коэффициент при члене первой степени больше, чем .

Тогда, не упуская из виду, что и — одно и то же, мы «переходим через десяток» следующим образом:

и теперь ясно, что сумма равна . Нам приходится:

1) представить число в виде многочлена ;

2) воспользоваться распределительным законом умножения (раскрываем скобки);

3) воспользоваться сочетательным законом сложения (присоединяем к );

4) сделать приведение подобных членов и (снова распределительный закон).

Подобным же образом «объясняются» и другие арифметические действия над многозначными числами.

С помощью систематической записи чисел можно легко решать некоторые задачи-загадки.

Пример 1. Сумма цифр трехзначного числа равна , и притом каждая следующая цифра на единицу больше предыдущей. Что это за число ?

Решение: Обозначим первую цифру через ; тогда вторая будет ; третья . В систематической записи все число имеет вид:
, а сумма цифр равна ; значит, .

Решая это уравнение, получаем: . Подставляя это значение в формулу для , получим: .

Пример 2. Сумма цифр трехзначного числа равна , и притом каждая следующая цифра на единицу больше предыдущей. Что это за число ?

Решение. Предположим, что первая цифра обозначена че­рез . Тогда по-прежнему число изображается формулой: .

Условие, что сумма цифр равна , приводит нас к уравнению: ; решая уравнение, видим, что единственный корень его есть .

Уравнение решено верно. Но решения задачи мы не получаем, и вот почему: по смыслу задачи требуется не только то, чтобы удовлетворялось наше уравнение, но и то, чтобы число было целым, а именно, одним из чисел . Добиться удовлетворения обоих требований сразу нет возможности. Значит, за­дача не имеет решения.

С которого из двух требований начинать — в сущности безраз­лично. Мы начали с первого, но могли бы начать и со второго; тогда пришлось бы подставлять все числа одно за другим в наше уравнение, и мы убедились бы, что ни одно из них не яв­ляется корнем уравнения, т. е. не удовлетворяет первому требованию.

Нужно ясно представлять себе, в чем здесь дело. Первому требованию удовлетворяет одно число, второму — десять чисел: но ни одно из десяти не совпадает с единственным числом, удовлетворяющим первому требованию. Итак, удовлетворить обоим требованиям вместе — невозможно.

Задачи на делимость

Уже из курса арифметики начальной школы известно, что если предлагается разделить одно целое положительное (натуральное) число (делимое) на другое целое число (делитель), отличное от нуля, то поставленную таким образом задачу можно по­нимать двояко:

(1) или требуется решить относительно уравнение

т. е. найти такое число , которое, будучи умножено на дает в точности ,

(2) или требуется найти два таких целых числа (частное) и (остаток), чтобы, во-первых, имело место равенство («делимое равно делителю, умноженному на частное, плюс оста­ток») и, во-вторых, чтобы имело место неравенство («остаток меньше делителя»).

Деление в первом смысле можно было бы назвать точным делением: деление во втором смысле называется делением с остатком.

Пусть, например, , . Если идет речь о точном де­лении, то мы, решая уравнение , получаем дробь если идет речь о делении с остатком, то получаем частное и остаток , так что , .

Точное деление и деление с остатком следует рассматривать как различные действия каждом данном случае отдавать себе отчет, о каком из них идет речь.

Эти два действия совпадают, если остаток равен нулю.

Тогда делимое равно делителю, умноженному на частное и, следовательно, целое число есть корень уравнения .

В этом случае говорят, что число делится на число ; другими словами, существует такое целое число , при котором .

Чтобы найти все целые числа , которые делятся на , достаточно в последней формуле давать букве всевозможные целые значения; мы получаем: и т.д.

Точно так же, чтобы найти все целые числа , которые при деле ник на дают назначенный остаток , достаточно в формулу подставлять вместо буквы всевозможные целые значения, мы получаем, и т — д.

Например, все целые числа, которые при делении на дают остаток , содержатся в такой последовательности: и т. д ., т. е. и т. д.

Деление многочленов

Предположим, что заданы два многочлена и , расположенные по степеням одной и той же буквы, например, буквы .

Требуется разделить многочлен на многочлен . Что это значит?

Вполне правильным является такой ответ. Результатом деления многочлена на многочлен будет дробь . Такое утверждение вытекает из понимания деления как действия, обратного умножению: разделить на — значит найти такое алгебраическое выражение (зависящее также от буквы ), чтобы при всех значениях буквы было справедливо равенство .

Таким выражением является дробь .

Но можно поставить вопрос и иначе, а именно: Разделить многочлен На многочлен — значит найти такой новый, расположенный также по степеням буквы , многочлен , который, будучи умножен на многочлен , дает многочлен ; другими словами, требуется, чтобы при всех значениях выполнялось равенство .

Новое толкование «деления многочлена на многочлен» от прежнего отличается лишь тем, что от искомого «частного» ( или ) требуется дополнительно, чтобы оно само было также многочленом.

Мы увидим, что при таком толковании деления поставленная задача не во всех случаях выполнима.

Пример 1. Разделить многочлен на многочлен .

Станем искать такой многочлен , который, будучи умножен (по правилу умножения многочленов) на , даст ; посмотрим прежде всего, каков должен быть его старший член.

Легко понять, что старший член многочлена произведения всегда есть не что иное, как произведение старших членов перемножаемых многочленов.

Поэтому, чтобы получить старший член многочлена (если такой многочлен существует), надо, обратно, старший член многочлена разделить на старший член многочлена , мы получим , Составим теперь произведение и рассмотрим разность многочленов: .

Так как старшие члены многочленов и одинаковы, то эта разность (которую мы обозначим через ) будет иметь степень, меньшую, чем степень : .

Чтобы определить следующий член многочлена , сделаем теперь с многочленом то же самое, что мы делали с многочленом .

Разделив старший член многочлена на старший член многочлена , мы получаем . Произведение имеет тот же старший член, что и многочлен , со­ставим разность: ; она представляет собою многочлен (назовем его ), степень ко­торого меньше, чем степень .

Обращаемся далее к многочлену . Разделив его старший член на старший член многочлена , получаем . Произведение имеет тот же старший член, что и многочлен , Разность
(которую мы обозначим через ) оказывается тождественно равной нулю:

Мы получили ряд тождеств:

Принимая во внимание, что сводится к нулю, им можно придать вид

Складывая их вместе и вычитая почленно и , получаем тождество: .

Вынося в правой части за скобки, будем иметь: .

Таким образом, мы видим, что выражение , определяемое равенством , и есть искомый многочлен.

Все эти действия записывают короче, именно, следующим об­ разом (наподобие записи при делении многозначных чисел):

Пример 2. Разделить многочлен на многочлен .

В этом примере, как и в предыдущем, мы получим: .

Но разность , которую мы обозначим через , на этот раз не будет тождественно равной нулю. Мы будем иметь

Таким образом, теперь

Полученным тождествам ,можно придать вид и продолжать дальше уже нельзя, так как степень меньше, чем степень .

Отсюда, как н раньше, посредством сложения получится: . Обозначая многочлен через и заменяя через , мы приходим к тождеству т. е.

Расположение действия таково:

В первом примере многочлен делится на многочлен ; это значит, что существует такой многочлен , что имеет место тождество .

Во втором примере многочлен не делится на многочлен : при делении получается остаток . Подобрать такой многочлен , чтобы произведение равнялось , уже нельзя, но можно подобрать два многочлена и (последний — степени меньшей, чем степень ) таким образом, чтобы имело место тождество .

Итак, задачу деления с «остатком» многочлена на многочлен ставят следующим образом:

Разделить многочлен («делимое») на многочлен («делитель») — значит найти два таких многочлена («частное») и (остаток»), чтобы, во-первых, имело место тождество и, во-вторых, чтобы степень остатка была меньше, чем сте­пень делителя .

Основное тождество выражается такими словами:

Многочлен-делимое тождественно равен многочлену-делителю, умноженному на многочлен-частное, плюс многочлен-остаток.

Или, короче (как в арифметике):

Делимое равно делителю, умноженному на частное, плюс остаток.

Во всем предыдущем изложении предполагается, что много­член-делитель тождественно не равен нулю. Излишне также считать его числом постоянным (не зависящим от буквы ) и от­личным от нуля, так как в этом случае деление выполняется очевидным образом, без всякого остатка. Итак, можно предполагать, что степень не меньше единицы.

Разложение многочленов на множители

Если мы перемножим два многочлена первой степени, то получим многочлен второй степени. Если умножим многочлен второй степени на многочлен первой степени, получается многочлен третьей степени. Умножая много­ член третьей степени на многочлен первой степени или перемножая два многочлена второй степени, получаем многочлен четвертой степени.

Возникает вопрос: можно ли данный многочлен степени выше первой представить как произведение двух (или большего числа) многочленов низших степеней? Всегда ли это можно сделать?

Представляя данный многочлен в виде произведения многочленов низших степеней, мы выполняем его разложение на множители.

В некоторых отдельных случаях такое разложение можно выполнить без труда, с помощью догадки или пользуясь основными формулами умножения.

Например:

1) многочлен есть разность квадратов чисел и ; поэтому он равен произведению их суммы на их раз­ность: ;

2) многочлен есть квадрат суммы чисел и :

3) многочлен , как легко догадаться, раз­лагается на множители следующим образом: .

Разложение многочлена на множители — задача, в общем случае представляющая очень большие труд­ности. Она не всегда выполнима: например, такой про­стой многочлен второй степени, как , нельзя раз­ложить на два множителя.

Если бы такое разложение было возможно, то мы легко на­шли бы такое значение , при котором один из множителей обратился бы в нуль (пришлось бы решить уравнение); но раз обратился бы в нуль один из множителей, то обратилось бы в нуль и произведение, т. е. многочлен . Однако есть число положительное, а при всяком значении также есть число поло­жительное (или равное нулю— при ); значит, сумма всегда есть число положительное и, следовательно, никогда в нуль не обращается.

Ниже предлагаются некоторые упражнения в разложении на множители расположенных многочленов, на­чиная с многочленов второй степени.

Многочлены с двумя буквами

Предположим, что наш многочлен содержит две бук­вы: и .

Степенью данного члена в этом многочлене называется сумма показателей при той и при другой букве.

Так, в многочлене член третьей степени, член четвертой степени, член первой степени, член нулевой степени (свободный член), член четвертой степени, член третьей степени, член четвертой степени, член первой степени.

Чтобы упорядочить расположение членов (расположить по степеням двух букв), пишут обыкновенно, после приведения подобных членов, группами подряд все члены одной и той же степени таким образом, чтобы степени убывали от группы к группе; в пределах же каждой группы располагают члены таким образом, чтобы степени одной из букв (первой, например, буквы ) убывали, а степени другой (второй, например, буквы ) возрастали.

При соблюдении этого правила приведенный выше многочлен должен быть записан следующим образом: .

Те члены, которые имеют наибольшую степень, называются старшими; их может быть несколько; они об­разуют первую группу.

Степенью многочлена называют степень старших членов.

В нашем примере имеется три старших члена; степень многочлена — четвертая.

Если все члены многочлена — одной и той же степени, то многочлен называется однородным: о «старшинстве» в этом случае не может быть речи. В предыдущем примере каждая из групп в скобках, взятая в отдельно­сти, есть однородный многочлен.

Буквенные коэффициенты

В данном алгебраическом выражении, составленном из нескольких букв, часто приходится выделять од­ну или две буквы и считать их главными, остальные же, не выделенные, буквы считать побочными (или параметрами). Выделение главных букв про­изводится большею частью с той целью, чтобы было видно, каким буквам предполагается давать различные числовые значения и какие можно рассматривать как имеющие (в пределах предложенной задачи) одно и то же неизменное значение.

Обыкновенно главные буквы берутся из конца ла­тинского алфавита» побочные — из начала или из се­редины.

При условии разделения букв на главные и побочные такие понятия, как «одночлен», «многочлен», «ко­эффициент» подвергаются обобщению. Именно:

Одночленом называют выражение, представляющее собою произведение множителя, не содержащего главных букв, и одного или нескольких множителей, являющихся главными буквами. При этом множитель, не содержащий главных букв, называется коэффициентом.

Многочленом называют алгебраическую сумму нескольких одночленов (в обобщенном смысле).

Например: считая главными буквы и , можно назвать одночленами такие выражения, как ; а коэффициентами здесь являются: .

Выражение можно назвать многочленом относительно и .

Буквы же и являются параметрами.

Если выделены главные буквы, то счет степеней ведется исключительно по этим буквам (т. е. на параметры не обращают внимания). Итак, в нашем примере первый и второй члены — второй степени, третий — пер­вой, четвертый — нулевой (свободный член).

В том же примере можно было бы условиться считать главной лишь букву , а букву относить к числу параметров. Тогда наш многочлен был бы вто­рой степени относительно буквы , но член — был бы уже первой степени, с коэффициен­том.

Напротив, если считать главной лишь букву, то тот же многочлен будет относительно линейным (первой степени); тогда второй член будет первой степени с коэффициен­том , а прочие члены — свободными.

Соответственным образом обобщается и понятие «подобные члены». Так, в выражении (с главной буквой ) члены и — подобные (так как отличаются лишь коэффициентами).

Приведение таких подобных (в обобщенном смысле) членов производится посредством вынесения главных букв за скобки.

Например: .

Заметим еще, что оборот речи «расположить по степеням такой-то буквы» подразумевает, что эта бук­ва, и только она, выделяется в качестве главной. Один и тот же многочлен можно расположить по степеням той или иной буквы.

Например, многочлен: можно расположить по степеням буквы : и можно так же расположить по степеням буквы : .

Относительно буквы этот многочлен пятой степени, относительно — четвертой.

Алгоритм и методы решения задач в математике

Стандартная схема решения текстовых задач состоит из трех этапов:

1. Выбор неизвестных.
2. Составление уравнений (возможно, неравенств).
3. Решение системы, или, точнее, нахождение нужного неизвестного или нужной комбинации неизвестных.
   Рассмотрим эту схему поэтапно.

Выбор неизвестных

Основные рекомендации здесь просты, хотя и несколько расплывчаты. Неизвестные должны быть естественными. При этом не следует пытаться обойтись небольшим числом неизвестных. Наоборот, чем больше неизвестных, тем лучше, тем легче составлять уравнения (или неравенства).

Требование «естественности» неизвестных не так просто сформулировать. В простейших случаях оно означает, что выбор неизвестных диктуется структурой задачи, ее типом. Так, в зада­ чах на движение, как правило, в качестве неизвестных берутся скорость, расстояние, реже — время. Следует избегать обозначений типа и т. п. Лучше приучать себя к стандарт­ ному списку: и т. д. Это облегчит в дальнейшем работу с получившейся системой. В задачах на работу (они аналогичны задачам на движение) за основу берутся производительность (та же скорость, только скорость работы), объем работы. Свои стереотипы имеют и задачи на концентрацию, процентное содержание.

Выбирая неизвестные, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи; точнее, набор неизвестных представляет собой список параметров, определяющих эту модель. (Обычно стараются, чтобы эти параметры были незави­симы. Это означает, что все соотношения должны следовать лишь из конкретных условий задачи, а в принципе каждый параметр может меняться в известном диапазоне, независимо от значений остальных параметров.)

Если будем считать, что первое прочтение задачи ознакоми­тельное, то второе имеет своей целью выбор неизвестных; при этом мы не обращаем внимание на числа и иные «мелочи». Иногда уже в процессе составления ограничений приходится для облегчения этого процесса «добирать» неизвестные.

Составление уравнений (ограничений)

Выбрав неизвестные, мы в третий раз читаем задачу, расчленяя ее условие на логические части, каждой из которых соответствует одно ограничение. Таким образом, если неизвестных следует брать столько, сколько потребуется, то ограничений будет столько, сколько получится. В простейших случаях мы при­ ходим к системе уравнений, в которых число уравнений совпа­дает с числом неизвестных. Но нередки задачи, в которых это не так. Если у вас число уравнений оказалось меньше числа неизвестных и при этом вы использовали все условия задачи (иногда эти условия оказываются замаскированными), не мучьте себя в поисках дополнительного уравнения, а внимательно прочти­ те, что нужно найти.

Попытайтесь выразить то, что нужно найти через введенные неизвестные (если, конечно, требуемое в задаче не принято за соответствующее неизвестное). Если все условия задачи использованы, то нужное неизвестное или нужная комбинация неизвестных обязательно найдутся. Об этом позаботились авторы за­ дачи (за исключением тех редких случаев, когда ошиблись и они).

Рассмотрим несколько примеров.

1.От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер спустился вниз по течению на 96 км, затем повернул обратно и вернулся в А через 14 ч. Найти скорость ка­тера в стоячей воде и скорость течения, если известно, что ка­ тер встретил плот на обратном пути на расстоянии 24 км от А.

Решение. 1. В качестве неизвестных здесь возьмем:
х (км/ч) —скорость катера в стоячей воде;
у (км/ч) — скорость течения.

2.Составим уравнения. Поскольку скорость катера при дви­жении по течению (х + у), а против течения — (х — у), то на основании того, что сказано во второй фразе условия, получим

Вторая часть последней фразы условия («катер встретил…») дает нам

Таким образом, имеем систему уравнений

3.Нам нужно найти х и у. Освобождаясь во втором уравнении от знаменателя, найдем х = 7у. Подставляя х = 7у в первое, получим у = 2, затем х=14.

Ответ. Скорость катера в стоячей воде 14 км/ч, скорость течения 2 км/ч.

2. Три конькобежца, скорости которых в некотором порядке образуют геометрическую прогрессию, одновременно стартовали по кругу. Через некоторое время второй конькобежец обгоняет первого, пробежав на 400 м больше его. Третий конькобежец пробегает то расстояние, которое пробежал первый к моменту 2 его обгона вторым, за время на минуты больше, чем первый. Найти скорость первого конькобежца. (Конькобежцы стартуют из одной точки и бегут в одном направлении.)

Решение. 1. За неизвестные примем скорости соответственно первого, второго и третьего конькобежцев: — х, у, z. Удобнее всего измерять скорости в м/мин (см. условие).

2. В данной задаче расчленение условия на части, которым соответствуют уравнения, не столь очевидно. Поскольку второй конькобежец обгоняет первого, пробежав на 400 м больше, то у>х, а длина беговой дорожки 400 м. Скорость третьего конькобежца меньше скорости первого (следует из третьей фразы условия); значит, y>x>z, т. е. величины z, х, у в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию. Таким образом,

Второй конькобежец пробежит на 400 м больше первого за время . Путь первого конькобежца за время t будет

По условию или

Таким образом, получаем систему (второе уравнение преобразовано)

3. Получена система из двух уравнений с тремя неизвестными. Но нам не надо находить все неизвестные. Требуется найти х. Выразим из первого уравнения и подставим во второе уравнение. Получим

Ho значит,

Ответ. Скорость первого конькобежца 600 м/мин.

3. Имеется три слитка различных сплавов золота с серебром. Известно, что количество золота в 2 г сплава из третьего слит­ ка то же, что во взятых вместе 1 г из первого и 1 г из второго слитков. Масса третьего слитка равна суммарной массе части первого слитка, содержащей 10 г золота, и части второго слитка, содержащей 80 г золота. Третий слиток в 4 раза тяжелее первого и содержит 75 г золота. Сколько граммов золота содержится в первом слитке?

Решение. 1. Не боясь, введем 6 неизвестных:
х, у, z — масса слитков в граммах;
и, v, w — соответственно количество золота в 1 г каждого слитка.

2. Вторая фраза условия дает нам уравнение

Третья фраза дает уравнение

(Чтобы получить 10 г золота, надо взять г первого слитка и т. д.)
Четвертая фраза дает два уравнения:

Таким образом, имеем систему

из четырех уравнений с 5 неизвестными (у нам не понадобился).

3. Нам надо найти количество граммов в первом слитке, т. е. хи. Будем исключать неизвестные, сохраняя х и и. Сначала заменим z на 4х во втором и четвертом уравнениях. Затем выразим из четвертого w и подставим в первое и, наконец, из первого уравнения найдем v. Окончательно после упрощений придем к уравнению

из которого найдем для два значения: Но по условию первый слиток содержит более 10 г золота (его часть содержит 10 г). Таким образом, первый слиток содержит 12,5 золота.

Ответ. В первом слитке содержится 12,5 г золота.
Очень полезно при составлении уравнений, особенно при решении достаточно запутанных задач на движение, делать «картинки».

4. Пристани А и В находятся на противоположных берегах озера. Пароход плывет из А в В и после десятиминутной стоянки в В возвращается в А, двигаясь в обоих направлениях с одной и той же скоростью — 18 км/ч. В момент выхода парохода из А навстречу ему из В в А отправляется движущаяся с постоянной скоростью лодка, которая встречается с пароходом в 11 ч 10 мин. В 11 ч 25 мин лодка находится на расстоянии 3 км от А. Направ­ляясь из В в А после стоянки, пароход нагоняет лодку в 11 ч40 мин. Определить время прибытия лодки в А.

Решение. 1. Обозначим скорость лодки через х (км/ч), расстояние АВ — через S.

2. Изобразим схему движения, на которой путь парохода отмечен сплошной линией, лодки — штриховой. Отметим точки С, D и Е, в которых находилась лодка соответственно в 11 ч 10 мин, 11 ч 25 мин и 11 ч 40 мин (рис. 4).

С момента выхода до встречи в С прошло время Время, через которое встречаются два тела, движущиеся на­ встречу друг другу со скоростями v и и, находившиеся вначале с
на расстоянии S друг от друга, есть . Аналогично, если одно тело, движущееся со скоростью v, нагоняет другое, скорость которого находившееся вначале на расстоянии S, то время, через которое первое тело нагонит второе, равно . (Мы этим соображением пользовались, решая задачу 2.) Следовательно, путь парохода будет: путь лодки — . По условию (путь лодки за 15 мин).
Таким образом,

Путь СЕ равен За полчаса (от 11 ч 10 мин до 11 ч 40 мин) пароход с учетом 10-минутной стоянки в В прошел 6 км. Зна­чит, СВ + BE = 6, или 2СВ+СЕ = 6:

Таким образом, имеем систему

3. Для того чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно найти х. Умножим первое уравнение на два и вычтем второе, получим

откуда S = 6. Заменяя S в любом уравнении, найдем х = 6 км/ч. Поскольку AD = 3, то от D до А лодка прошла за ч, т. е. прибыла в А в 11 ч 55 мин.

5. Два самолета, следующие по одной трассе из города А в город С с постоянными скоростями, пролетают над некоторым пунктом В. Известно, что второй самолет вылетел из города А на 14 мин позже первого, а в город С прилетел на 16 мин раньше его. При этом над пунктом В самолеты пролетели с интервалом не более 4 мин. Если бы второй самолет вылетел из города А через 10 мин после вылета первого, уменьшив свою скорость на 10%, а скорость первого самолета не изменилась, то над пунктом В самолеты пролетели бы с интервалом не менее 2 мин, а в город С второй самолет прилетел бы на 10 мин раньше первого. Если бы скорость второго самолета увеличилась на 40 км/ч, а скорость первого самолета не изменилась, то второй самолет потратил бы на путь от А до В в 7/3 раз меньше времени, чем первый на весь путь от А до С. Определить скорость первого самолета.

Несмотря на внешнюю громоздкость, эта задача вполне вписывается в нашу схему.

Решение. 1. В качестве неизвестных возьмем скорости самолетов: х и у (км/ч); кроме того, обозначим через а и b ( в км) расстояния АВ и ВС.

2. Вторая фраза условия дает нам уравнение

Третья фраза дает неравенство

Четвертая фраза условия дает нам два соотношения:

Пятая фраза условия дает уравнение

Увеличению скорости на 40 км/ч соответствует км/мин.

Таким образом, получаем систему из трех уравнений и двух неравенств:

3. Решение системы начнем с уравнений. Вычитая второе уравнение из первого, получим

Заменим в первом а+b на 90у, получим Таким образом, Подставим выражение для а+b и у через х в третье уравнение:

Выразив все неизвестные через х, перейдем к неравенствам нашей системы. Первое неравенство преобразуется к виду

В последнем неравенстве под знаком абсолютной величины стоит положительное число; следовательно, будем иметь Аналогично из второго неравенства получим, что (Сделайте это самостоятельно.) Таким образом, х = 10 км/мин.

Ответ. Скорость первого самолета 600 км/ч.

Несколько нестандартных задач

Несмотря на то что предложенная схема решения охватывает большинство задач, встречающихся в школьных задачниках и на конкурсных экзаменах, не так уж редки текстовые задачи, в большей или меньшей степени выходящие за рамки этой схемы,— задачи нестандартные. Так, например, в условии могут быть явно не сформулированы ограничения, определяемые физическими или геометрическими (или иными) свойствами рассматриваемого объекта. В частности, если в условии говорится о попарных расстояниях между тремя пунктами, то эти величины должны удовлетворять неравенству треугольника. Встречаются задачи с альтернативным условием, которые распадаются на несколько систем уравнений, причем решение каждой системы ищется на своей области ограничений; задачи с целочисленными неизвестными; задачи, в которых надо найти наибольшее или наименьшее значение какой-либо величины. Все это, если так можно выразиться, типичные нестандартные виды текстовых задач. Кроме этого, к нестандартным задачам следует отнести и такие, в которых составление системы уравнений (или ограничений) не требует особого труда, но при ее решении приходится прибегать к не­ стандартным приемам. Перейдем к примерам.

6. Из пункта А одновременно стартуют три бегуна и одно­ временно финишируют в том же пункте, пробежав по маршруту, состоящему из прямолинейных отрезков АВ, ВС, СА, образующих треугольник АВС. На каждом из указанных отрезков скорости у бегунов постоянны и равны: у первого — 10 км/ч, 16 км/ч и 14 км/ч соответственно; у второго — 12 км/ч, 10 км/ч и 16 км/ч соответственно. Третий бегун в пунктах В и С оказывается не один и меняет скорость на маршруте один раз. Установить, является ли треугольник АВС остроугольным или тупоугольным.

Решение. Обозначим стороны треугольника: АВ —а, ВС = Ь, СА = с. Из условия следует, что первый и последний участки — АВ и СА — третий бегун пробегает вместе с первым либо со вторым; причем, если маршрут АВ он бежит вместе с первым, то маршрут СА — вместе со вторым, и наоборот. А поскольку он меняет скорость один раз, то его скорости на участках АВ, ВС и СА соответственно могут быть равными:

Первый вариант отпадает сразу, так как в этом случае третий бегун отстанет от второго.

По аналогичной причине отпадает второй вариант (третий бегун обгонит первого). Остаются два варианта. Соответственно имеем две системы (уравнения составляются на основании ус­ловия равенства времени, затрачиваемого на маршрут бегунами):

Для каждой системы легко выразить а и с через b. Для первой системы с — наибольшая сторона; причем так как Треугольник тупоугольный. Для второй системы

т. е. этот случай невозможен.

Ответ. Треугольник тупоугольный (тупым является угол АСВ).

7. Вася и Петя поделала между собой 39 орехов. Число орехов, доставшихся любому из них, меньше удвоенного числа орехов, доставшихся другому. Квадрат трети числа орехов, до­ ставшихся Пете, меньше числа орехов, доставшихся Васе. Сколько орехов у каждого?

Решение. Если мы обозначим через х и у количество орехов, доставшихся соответственно Васе и Пете, то без труда составим систему из одного уравнения и трех неравенств:

Сложность задачи в третьей части — в решении системы. При этом мы должны помнить, что х и у — целые положительные числа. Из уравнения найдем х =39 — у. Для у будем иметь сис­тему из трех неравенств:

Из первых двух неравенств найдем у >13, у <26. Последнее неравенство перепишем в виде Можно, конечно, решить это неравенство. Но лучше поступить иначе. Поскольку у — целое положительное число, то при у=14 будем иметь а при у = 15 будет Таким образом, у= 14, х = 25.

Ответ. 25 и 14 орехов.

8. Две бригады землекопов вырыли по одинаковому котловану. Вторая бригада работала на полчаса больше первой. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она могла бы закончить работу на 2 ч раньше. Определить число землекопов в каждой бригаде, если производительность у всех оди­накова.

Решение. Неизвестные: х — количество землекопов первой бригады, у — второй бригады, t — время работы первой бригады. Производительность каждого землекопа можно считать равной единице.

Из условия задачи следует

Выражая / через х и у из одного уравнения и подставляя в другое, получим после упрощений

При этом х и у — натуральные числа. Выразим у через х:

Умножим последнее равенство на 4, получим

Из того, что х и у — натуральные числа, следует, что 4х + 25 является делителем 125. А поскольку 4х+ 25 >25, то 4х + 25 = 125; х = 25, у = 24.

Ответ. В первой бригаде 25 землекопов, во второй —24.

9. Согласно расписанию катер проходит по реке, скорость течения которой 5 км/ч, путь из А в D длиной 15 км за 1 ч. При этом, выходя из пункта А в 12 ч, он прибывает в пункты В и С, отстоящие от А на расстоянии И км и 13 км соответственно, в 12 ч 20 мин и 12 ч 40 мин. Известно, что если бы катер двигался из А в D без остановок с постоянной скоростью v (относительно воды), то сумма абсолютных величин отклонений от расписания прибытия в пункты В, С, D не превысила бы уменьшенного на полчаса времени, необходимого катеру для прохождения 5 км со скоростью v в стоячей воде. Какой из пунктов — А или D — находится выше по течению?

Решение. Обозначим через х время, за которое катер проходит 1 км при движении из А в D:

в зависимости от того, выше А по течению или нет. Таким образом,

имеем неравенство

Рассмотрим графики трех функций (рис. 5):

График функции есть ломаная линия, минимум равен
(достигается при ). имеет вертикальную асимптоту и пересекается с , т. е. неравенство имеет решение. Легко видеть, что при всех , так как
Значит, . Таким образом, задача имеет решение, если

т. е. А выше по течению, чем D.

Ответ. Пункт А выше по течению, чем пункт D.

10. Пункт А находится на берегу реки, ширина которой 400 м, скорость течения 3 км/ч. Пункт В расположен ниже по течению в 4 км от А (если — проекция В на берег, на котором располо­жен А, то = 4 км), на расстоянии 2 км 680 м от противоположного берега (А и В — по разные стороны реки). Турист выехал из А на лодке, пересек реку, оставил на берегу лодку, дошел до В и вернулся тем же путем. На всех участках, по реке и по суше, он двигался прямолинейно. Скорость лодки в стоячей воде 5 км/ч, скорость передвижения туриста пешком 3,2 км/ч. За какое наименьшее время мог проделать свое путешествие турист?

Решение. Пусть турист приплыл в точку С на противоположном берегу. Причем CD=x, где D — пункт, противополож­ный А (рис. 6,a) (AD перпендикулярен берегам). Если время на прохождение участка АС равно то на участке CD можно найти такую точку что

Это означает, что вектор — путь, реально пройденный лод­кой, мы представляем в виде суммы двух векторов: —путь, пройденный лодкой, если бы не было течения, и — путь лодки под воздействием одного течения.

Записав для треугольника AC\D теорему Пифагора, получим

или

Аналогично, если — время на пути от С до А, определив точку ниже С так, что получим для уравнение

Поскольку — положительные корни соответственно уравнений (1) и (2), то

есть время передвижения на лодке. Время движения по суше равно

Таким образом, время, затраченное на путешествие, будет:

Рассмотрим два прямоугольных треугольника PNM и KLP: катеты одного х и 0,32, другого 4-х и 2,68, расположенных, как показано на рисунке 6,6. Тогда

Длина ломаной КРМ будет минимальной, если точка Р лежит на отрезке КМ. Но Таким образом,
минимальное время будет:

Как можно обойтись без уравнений

Вероятно, с этого пункта следовало бы начинать «Текстовые задачи», поскольку в нем пойдет речь о задачах, для решения которых достаточно знаний и умений, которыми располагает человек, окончивший начальную школу. Ранее подобные арифметические текстовые задачи были достаточно распространены. Алгебраизация математического образования, неправильное убеждение, что с помощью уравнений мы можем решить любую текстовую задачу, привели к почти полному исчезновению подобного вида задач из школьного математического курса. Между тем существует целый ряд задач, в том числе и встре­чающиеся на конкурсном экзамене, которые гораздо удобнее решать «арифметически», чем «алгебраически». Сталкиваясь с подобного рода ситуацией, старшеклассник может просто расте­ряться, поскольку он привык иметь дело с задачами, при решении которых надо вводить неизвестные и составлять урав­нения.

Для начала заметим, что задачу 1 можно решить арифметически. В основе лежит следующее соображение. Если катер удаляется от плота или приближается к нему, то его скорость относительно плота равна скорости катера в стоячей воде, меняется лишь направление этой скорости. Следовательно, катер удаляется от плота за то же время, что и приближается к нему, т. е. путь в 96 км от Л до В пройден за то же время, что и 72 км от В до встречи с плотом. Значит, скорости катера по течению и против относятся как 96:72 = 4:3. Время на путь от А до В и обратно равно 14 ч. Это время надо разделить на части пропорционально 3:4, чтобы узнать время туда и обратно. Имеем: от А до В катер шел 6 ч, обратно — 8 ч. Скорость по течению равна 96:6= 16 км/ч, против— 12 км/ч. Скорость течения 0,5 (16—12) =2 км/ч, скорость катера в стоячей воде 14 км/ч.

11. Имеется два слитка золота массой 300 г и 400 г с различ­ным процентным содержанием золота. Каждый слиток следует раз­ делить на две части таким образом, чтобы из получившихся четырех кусков можно было изготовить два слитка массой 200 г и 500 г с равным процентным содержанием золота. На какие части следует разделить каждый слиток?

Решение. Эту задачу, безусловно, можно решить, введя соответствующие неизвестные и составив уравнение или систему уравнений. Но лучше поступить следующим образом. Очевидно, что в новых слитках (200 г и 500 г) процентное содержание золота должно быть таким же, как и в 700-граммовом слитке, получившемся бы при сплавлении вместе исходных слитков. Следовательно, и отношение, в котором в каждый новый слиток входят части исходных, должно быть равно 3:4. Имеем обычную задачу: разделить заданную величину на части, пропорциональные данным числам. Таким образом, 200-граммовый слиток должен содержать г первого исходного слитка и г второго. Аналогично находим части, из которых должен состоять 500-граммовый слиток.

Ответ. Слиток массой 300 г следует разделить на части 600/7 г и 1500/7 г, слиток массой 400 г — на части 800/7 г и 2000/7 г.

Очевидно, метод решения этой задачи проходит при любом числе исходных и конечных слитков.

12. В порту для загрузки танкеров имеется три трубопровода. По первому из них закачивается в час 300 т нефти, по вто­рому — 400 т, по третьему — 500 т. Нужно загрузить два танкера. Если загрузку производить первыми двумя трубопроводами, подключив к одному из танкеров первый трубопровод, а к другому танкеру — второй трубопровод, то загрузка обоих танкеров при наиболее быстром из двух возможных способов подключения займет 12 ч. При этом какой-то из танкеров, может быть, окажется заполненным раньше, и тогда подключенный к нему трубопровод отключается и в дальнейшей загрузке не используется. Если бы вместимость меньшего по объему танкера была вдвое больше, чем на самом деле, и загрузка производилась бы вторым и третьим трубопроводами, то при быстрейшем способе подключения загрузка заняла бы 14 ч. Определить, сколько тонн нефти вмещает каждый из танкеров.

Решение. Очевидно, что более производительный трубо­провод следует подключать к танкеру с большей вместимостью. Поскольку один из двух танкеров был заполнен ровно за 12 ч, то либо меньший вмещает 1*3200 = 3600 т нефти, либо больший — 12 * 400 = 4800 т. Первый случай невозможен, так как при удвоении вместимости меньшего танкера получим танкер, вмещающий 7200 т, для заполнения которого даже третьим трубопроводом требуется более 14 ч.

Следовательно, больший танкер вмещает 4800 т и заполняется вторым и тем более третьим трубопроводами быстрее, чем за 14 ч. Значит, меньший танкер вмещает 0,5 (14-500) = 3500 т.

Ответ. 3500 т и 4800 т.

Как видим, решение этой задачи, взятой из конкурсного эк­ замена, короче, чем условие.

Тригонометрия

Выделим прежде всего два наиболее часто встречающихся типа задач, содержащих тригонометрические функции: преобразование тригонометрических выражений и решение тригонометрических уравнений или систем уравнений. Анализ различных сборников задач по математике показывает, что задачи именно этих двух типов представляют в них абсолютное большинство. Все прочие виды задач можно объединить под заглавием «Разные задачи».

Некоторые дополнительные тригонометрические формулы

Одно из важнейших умений, которое необходимо развить при изучении темы «Тригонометрия»,— это умение выполнять достаточно сложные преобразования тригонометрических выражений. Для этого следует для начала расширить, по сравнению со школьным учебником, запас основных, «рабочих» формул. Приведем небольшой список таких формул.

Все приведенные здесь формулы доказываются несложно. Так, для проверки справедливости формул (7) — (12) достаточно применить к стоящим в правых частях тригонометрическим функциям соответствующие формулы, выражающие функцию от суммы или разности аргументов через функции отдельных аргументов. Группа формул (3) — (6) получается из группы (7) — (9), по существу, «направлением» чтения — справа налево. Если мы обозначим откуда и заменим и в формулах (7) — (9) на и , то получим с точностью до обозначений (вместо и будут и ) формулы (3), (5) и (6). Формула (4) получается из формулы (3) заменой на Обратим внимание также на то, что формулы (1), (2) являются частным случаем формул (8), (9) (положим в формулах (8), (9) ).

Начнем наш обзор с решения «разных» задач.

2. Разные задачи

Вычисление и сравнение значений тригонометрических функций

В частности, сюда относятся задачи, в которых требуется определить знак тригонометрического выражения. При этом следует различать задачи, в которых тригонометрические функции имеют аргумент, заданный градусной мерой, и задачи, в которых аргумент — число.

1. Определить знак числа

Решение. Нам надо определить, в какой четверти расположен угол, соответствующий 355 радианам. Легко проверить, что Так же легко проверяется, что Сложнее выяснить, что больше: или Лишь взяв с семью знаками после запятой (!), из неравенства найдем, что

Таким образом, рассматриваемый угол расположен в третьей четверти, его синус отрицателен.

2.Что больше sin 10 или sin 11?

Решение. Стандартный путь состоит в следующем. Рассмотрим разность sin 11—sin 10, по формуле (4) преобразуем ее в произведение 2 sin 0,5 cos 10,5. Поскольку угол (0,5) находится в первой четверти, то sin 0,5>0.

Остается выяснить, где расположен угол 10,5. Поскольку Следовательно,

Если бы речь шла о сравнении разноименных функций то сначала следовало бы одну из них перевести в другую. Например, заменить

3.Вычислить

Решение. а) Имеем

б) Наша задача эквивалентна следующей: найти если

Имеем

в) Известно, что сторона правильного десятиугольника, вписанного в окружность радиусом равна Стороне десятиугольника соответствуют вписанные углы в 18°. Следовательно,

Графики тригонометрических функций. Периодичность и непериодичность

Ограничимся рассмотрением графиков функций, задаваемых в виде формул, содержащих символы обратных, тригонометрических функций.

1.Построить графики функций:

Решение. а) Заметим, что данная функция определена при

Далее, по определению arcsin х: если обозначить

Таким образом, Графиком функции будет дуга параболы (рис. 1).

б) Данная функция является периодической, ее значения не меняются при замене на Построим сначала ее график для

Если Это следует из определения арккосинуса: если А по-

скольку на отрезке каждое значение косинуса достигается в одной точке, то

Пусть Поскольку а при будем иметь то из определения арккосинуса получим при

Окончательно график изображен на рисунке 2.

5. Доказать периодичность данной функции и найти наименьший период:

Решение. а) Нетрудно заметить, что заданная функция имеет период . Докажем, что является наименьшим периодом. В самом деле, при где целое, а во всех остальных точках На любом периоде данная функция хотя бы один раз должна принять значение, равное 2. Значит, период не может быть меньше , поскольку расстояние между соседними значениями аргумента, в которых равно .

б) Воспользуемся следующим очевидным соображением: если некоторая функция имеет период , то и любая ее производная (при условии, что это производная существует) также имеет период, равный .

Имеем

Понятно, что если две функции имеют одинаковый период, то и любая их комбинация имеет тот же период (возможно, не наименьший). Но Любой период функции равен (Функция имеет наименьший период, равный . Докажите.) Значит, если — наименьший период исходной функции, то

Аналогично из равенства получим Таким образом, откуда наименьший период не меньше чем . Осталось проверить, что является периодом данной функции.

6. Доказать непериодичность следующих функций:

Решение. а) Непериодичность этой функции следует уже из того, что ее область определения в то время как для периодической функции (по определению периодической функции) должно выполняться следующее свойство: если — период функции то для любого и любого целого все числа одновременно или входят, или не входят в область определения функции

б) Эта функция при равна 2. Больше ни в одной точке эта функция не равна 2 из-за иррациональности (Если .)

в) Производная этой функции непериодична (см. решение пункта б) предыдущей задачи). В самом деле, На любом отрезке эта функция ограничена, а на всей прямой она неограничена, поскольку при будет

Преобразование тригонометрических выражений

К этому виду задач мы относим задачи, в которых требуется доказать равенство (упростить выражение), содержащее тригонометрические функции или их числовые значения. Используется известный по алгебраическим задачам арсенал формул и методов,
пополненный специфическими тригонометрическими формулами.
Рассмотрим два не совсем стандартных примера.

7.Доказать, что если углы треугольника, то

Решение. Ha основании формулы (11), а также формул приведения и сложения имеем

откуда следует требуемое равенство.

8.Доказать равенство

Решение. Умножим обе его части на Начнем

постепенно «сворачивать» левую часть. Пара заменится на Появилась новая пара которую заменим на

Далее,

И наконец,

Таким образом,

Нам осталось доказать равенство

или (поскольку

Умножая обе части на аналогично предыдущему будем иметь

Следует заметить, что во многих случаях упрощение тригонометрических выражений не является самоцелью, а представляет собой существенный элемент решения задач иных типов (например, решение уравнений).

Тригонометрические уравнения. Общие положения

Основная схема, которой мы будем руководствоваться при решении тригонометрических уравнений, совпадает со схемой, описанной нами ранее (см. X, § 2). Напомним ее. Решение заданного уравнения сводится к решению элементарных уравнений. Средства решения — преобразования, разложение на множители, замена неизвестного. Ведущий принцип — не терять корней. (Что с возу упало, то пропало.) Это означает, что при переходе к следующему уравнению (уравнениям) мы не опасаемся появления лишних (посторонних) корней, а заботимся лишь о том, чтобы каждое последующее уравнение нашей «цепочки» (или совокупность уравнений в случае ветвления) являлось следствием предыдущего. Одним из возможных методов отбора корней, отсеивания лишних, является проверка. Сразу заметим, что в случае тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, с проверкой, как правило, резко возрастают (по сравнению с уравнениями алгебраическими). Ведь проверять приходится серии, состоящие из бесконечного числа членов.

Элементарные тригонометрические уравнения — это уравнения вида одна из тригонометрических функций:

Особо следует сказать о замене неизвестных при решении тригонометрических уравнений. В большинстве случаев после нужной замены получается алгебраическое уравнение. Более того, не так уж редки уравнения, которые, хотя и являются тригонометрическими по внешнему виду, по существу, таковыми не оказываются, поскольку уже после первого шага — очевидной замены неизвестного — превращаются в алгебраические, а возвращение к тригонометрии происходит лишь на этапе решения элементарных тригонометрических уравнений.

Еще раз напомним: замену неизвестного следует делать при первой возможности, получившееся после замены уравнение необходимо решить до конца, включая этап отбора корней, а уж затем возвратиться к первоначальному неизвестному.

Итак, решение алгебраического уравнения—очень часто встречающийся этап решения уравнений самых различных видов. Именно поэтому навыки, умения решать алгебраические уравнения являются фундаментальными и должны быть отработаны в первую очередь.

Одна из особенностей тригонометрических уравнений состоит в том, что ответ во многих случаях может быть записан различными способами. Даже для уравнения ответ может быть записан следующим образом: 1) В виде двух серий:

2) В стандартной форме, представляющей собой объединение указанных выше серий:

Отдельно следует запомнить запись ответа для

Соответственно будем иметь

В двух последних случаях и та и другая серии, указанные в пункте 1, совпадают. 3) Поскольку то ответ можно записать в виде (В дальнейшем наличие параметра в записи ответа автоматически означает, что этот параметр принимает всевозможные целочисленные значения. Исключения будут оговариваться.)

Очевидно, что тремя перечисленными случаями не исчерпываются все возможности для записи ответа рассматриваемого уравнения (их бесконечно много).

Например, при справедливо равенство (Докажите.) Следовательно, в двух первых случаях, если мы можем заменить

Обычно ответ записывается на основании формулы пункта 2. Полезно запомнить следующую рекомендацию: если на решении уравнения работа не заканчивается, необходимо еще произвести исследование, отбор корней, то наиболее удобна форма записи, указанная в пункте 1. (Аналогичную рекомендацию следует дать и для уравнения )

Приведенный пример и указанные различные формы записи ответа могут показаться надуманными. Однако на практике вполне возможны уравнения (и с такими примерами нам придется сталкиваться неоднократно), которые могут быть решены разными способами, приводящими к различным элементарным уравнениям. Рассмотрим один простой, но поучительный пример.

9.Решить уравнение

Решение. Наиболее очевидным является следующий путь. Данное уравнение распадается на два:

Решая каждое из них и объединяя полученные ответы, найдем

Другой путь. Поскольку то, заменяя

и по формулам (1) и (2) (кстати, эти две формулы смело можно отнести к категории наиболее популярных формул в теме «Тригонометрические уравнения»), найдем после небольших преобразований

На первый взгляд никаких особых преимуществ у второй формулы по сравнению с первой нет. Однако если возьмем, например, то окажется, что т. е. уравнение имеет решение в то время как первый способ приводит нас к ответу

«Увидеть» и доказать равенство не так просто.

Преобразование уравнений, разложение на множители

Сначала рассмотрим несколько несложных уравнений, иллюстрирующих наиболее распространенные схемы решений.

10.Решить уравнение:

Решение. Группируем слагаемые, расположенные в левой части, в пары. (В данном случае любой способ группировки приводит к цели.) А затем применяем формулу (5). Имеем:

Возникают три случая:

Ответ.

Обратим внимание на то, что вторая серия включает в себя первую. Поэтому нельзя сказать, что правильнее, но во всяком случае «культурнее и красивее» будет выглядеть ответ:

(Вновь типичная ситуация, приводящая к различным формам записи ответа.) Первый ответ также верен.

Рассмотренное уравнение иллюстрирует весьма типичную схему решения — разложение уравнения на множители за счет попарной группировки и использования формул (3) — (6).

Другая схема состоит из двух этапов. На первом произведения преобразуются в суммы (формулы (7) — (9)). На втором, наоборот, суммы преобразуются в произведения. Например:

11.Найти решения уравнения:

Решение.

Ответ.

12.Решить уравнение:

Решение. Преобразуем первое слагаемое левой части:

Можно и дальше преобразовывать, освобождаясь от произведений. А лучше остановиться и преобразовать второе слагаемое.

Оно примет вид:

а все уравнение приведется к

Теперь второй этап — разложение на множители. Имеем «цепочку»:

уравнение не имеет решений.

Ответ.

Нередко в практике конкурсного экзамена возникает необходимость преобразовывать выражения вида Стандартным является следующий прием: пусть угол, задаваемый равенствами

Для любых и такой угол существует. Это следует из того, что любые числа и , такие, что можно рассматривать как косинус к синус некоторого угла.

Таким образом

Итак, получим формулу (13)

где

В зависимости от знаков и можно взять угол равным или (Если или в других случаях )

13.Решить уравнение:

Решение. Преобразуем левую часть:

Получаем уравнение

Заменим на теперь можно применить формулу (6). (Обратите внимание на этот прием. Он встречается часто.)

Возникли два случая:

Лучше заменить на Получаемая при этом совокупность решений не изменится. Таким образом,

Ответ.

Замена неизвестного

Большей частью замена неизвестного в тригонометрических уравнениях делается с целью сведения данного тригонометрического уравнения к уравнению алгебраическому, в частности к квадратному.

Так, если уравнение имеет вид

то замена приводит его к квадратному, поскольку

Если же вместо слагаемого будет то нужная замена будет

При помощи замены могут быть сведены к алгебраическим уравнения, однородные относительно или уравнения, приводящиеся к однородным. Приведем пример.

14.Решить уравнение:

Решение. Перенесем 1 в левую часть, заменив ее на выразим через

Получим (после упрощений)

Разделив почленно на сделаем замену

Возвращаясь к , найдем

Полезно запомнить следующие формулы, позволяющие сделать замену без предварительных преобразований. Эти формулы особенно удобны при решении уравнений, в которых необходимые преобразования не столь просты, как в уравнении 14:

Замечание. При применении этих формул надо иметь в виду, что левые части определены при всех значениях , а правые — при следовательно, есть опасность потери корней. (Очень часто две последние формулы записывают, взяв в качестве аргумента слева , а аргумента справа и называют их «универсальной» заменой.)

При помощи формул (14) теоретически почти любое тригонометрическое уравнение может быть сведено к алгебраическому. Однако практическая значимость этих формул зачастую невелика из-за возникновения алгебраических уравнений высоких степеней при их использовании.

Уравнение 14 может быть решено и иначе — без замены неизвестного, при помощи приема, описанного в предыдущем пункте (формула (13)). Поскольку то наше уравнение приводится к виду или

Обозначим

Имеем:

(Сравните с ответом, найденным выше.)

Если в уравнение входят лишь выражения (или ) и то к цели может привести замена Например:

15.Решить уравнение:

Решение. Обозначим Тогда

Получаем уравнение

Ответ.

16.Найти решение уравнения:

Схема решения выглядит довольно просто: раскроем по формуле тангенса суммы, а затем введем новое неизвестное Но здесь есть одно «но». Применяя формулу тангенса суммы, мы сужаем область определения данного уравнения, исключая из нее значения (сравните с замечанием к формулам (14)). Значит, нам надо проверить, не являются ли значения корнями уравнения. Оказывается, являются.

Теперь, выделив найденные корни, можно закончить решение по приведенной схеме.

Можно обойти эту опасность иначе, например выразив левую часть через При этом область определения не меняется.

Ответ.

Отбор корней в тригонометрических уравнениях

Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений весьма специфична и обычно оказывается более сложной, чем это имело место для уравнений алгебраических. Приведем решения уравнений, иллюстрирующие типичные случаи появления лишних (посторонних) корней и методы «борьбы» с ними.

Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло расширение области определения уравнения. Приведем пример.

17.Решить уравнение:

Решение. Приравниваем нулю числитель (при этом происходит расширение области определения уравнения — добавляются значения обращающие в нуль знаменатель) и постараемся разложить его на множители.

Имеем

Получаем два уравнения:

Посмотрим, какие нам подходят. Прежде всего заметим, что левая часть нашего уравнения представляет собой периодическую функцию с периодом . Следовательно, достаточно найти решения уравнения, удовлетворяющие условию (один раз «обойти» круг), затем к найденным значениям прибавить

Неравенству удовлетворяют три числа (полезно изобразить соответствующие точки на единичной окружности,

рис. 3):

Первое не подходит, поскольку знаменатель обращается в нуль.

Ответ.

(можно ).

Найдем решения этого уравнения, удовлетворяющие условию Их два: Подходит второе значение.

Ответ.

С появлением лишних корней вследствие возведения обеих частей в квадрат мы часто встречались при решении алгебраических уравнений. Вот пример уравнения тригонометрического:

18.Найти корни уравнения:

Решение этого уравнения распадается на два этапа: 1) решение уравнения, получающегося из данного возведением в квадрат обеих его частей; 2) отбор тех корней, которые удовлетворяют условию При этом (как и в случае алгебраических уравнений) заботиться об условии нет необходимости. Все значения , удовлетворяющие возведенному в квадрат уравнению, этому условию удовлетворяют.

Первый шаг приводит нас к уравнению откуда

Теперь надо определить, при каких будет

Для этого достаточно для рассмотреть значения 0, 1,2, т. е. как обычно «обойти один раз круг», поскольку дальше значения косинуса начнут повторяться, получающиеся углы будут отличаться от уже рассмотренных на величину, кратную :

Ответ.

19.Решить уравнение:

Решение. Из равенства следует, что

(Функция периодическая с периодом , каждое значение на периоде принимается один раз.)

Значит,

Обратно: если или равны, или не существуют. Следовательно, мы должны из найденных значений выкинуть , равные

Найдем соответствующие

Ответ.

Итак, основная схема отбора корней состоит в следующем. Находится наименьший общий период всех тригонометрических функций, входящих в уравнение. На этом периоде отбираются корни, а затем оставшиеся корни периодически продолжаются. В частности, если период равен , то основная рекомендация — «обойти» тригонометрический круг.

Несколько иной прием был использован при решении уравнения 19: найдена общая формула для запрещенных значений , после чего эти значения удаляются из выписанной серии.

Рассмотрим решения еще двух уравнений, в которых отбор корней делается иначе.

20.Решить уравнение:

Решение. После возведения уравнения в квадрат и очевидных упрощений получим две возможности:

В первом случае

Однако все эти значения не удовлетворяют условию поскольку для них

Во втором случае имеем

Среди этих значений надо отобрать те, для которых

Понятно, что если удовлетворяет условию то и удовлетворяет этому условию при любом целом

(Наименьший период функции равен )

Пусть Для таких из неравенства получим

Пусть Получаем:

Таким образом,

Те же значения получим и в случае, если

Ответ.

21.Решить уравнение:

Решение. Имеем

Следовательно,

Теперь самое главное — отбор корней. Первое условие — дискриминант неотрицателен: Поскольку число целое и нечетное, а первый квадрат нечетного числа, больший 32, есть то или откуда или

Далее необходимо «выкинуть» те при которых не существуют одновременно левая и правая части исходного уравнения. (См. решение уравнения 18.)

Но не существует, если где целое. При целых не существует, если Следовательно, из найденных

корней надо «выкинуть»

Подставляя в квадратное уравнение, определяющее найдем

При уравнение имеет два корня: Второй корень удовлетворяет уравнению. Аналогично корень будет при второй корень при этом будет

Ответ.

Кроме того, есть еще два корня:

Системы тригонометрических уравнений. Запись ответа в системах тригонометрических уравнений

22.Решить систему уравнений:

Pешение. Из первого уравнения находим а из второго

Получаем систему

Ответ.

Как видим, в ответе фигурируют два параметра и независимо друг от друга «пробегающие» множества целых чисел. Нетрудно убедиться, что использование одного и того же параметра (например, ) при решении уравнений системы 22 приведет к потере решений. (Каких?)

Это явление характерно для систем тригонометрических уравнений. Вообще если система тригонометрических уравнений свелась к системе, состоящей из элементарных тригонометрических уравнений (т. е. к системе, в которой все уравнения имеют вид ), то при решении каждого из этих элементарных уравнений необходимо использовать свой целочисленный параметр. Для сравнения напомним, что при решении тригонометрических уравнений с одним неизвестным мы, как правило, обходились одним параметром. Точнее, если уравнение распадалось на элементарные (возникало объединение элементарных уравнений, а не пересечение — система; соединяющим был союз «или», а не «и»), то при решении каждого из них мы использовали один и тот же параметр. Возможно, не стоило бы уделять этой детали столько внимания, поскольку математическая сторона здесь достаточно прозрачна, если бы не многочисленные и типичные ошибки, допускаемые при решении несложных систем тригонометрических уравнений, ошибки тем более обидные, что допускаются они очень часто на заключительной стадии — записи ответа.

Проблемы, связанные с записью ответа в системах тригонометрических уравнений, не исчерпываются их многопараметричностью.

23.Решить систему:

Решение. Путь решения достаточно очевиден: выразим из первого уравнения и подставим во второе получим уравнение с одним неизвестным найдем а затем

Имеем из первого уравнения (понятно, что ). После подстановки во второе и упрощений получим

для уравнение

Прежде чем решать это уравнение, подумаем, в какой форме нам лучше всего записать ответ. Общая форма неудобна, поскольку для определения нам надо найти , a может принимать два значения:Поэтому запишем для две серии:

Для первой:

Для второй:

Ответ.

24.Решите систему:

Решение. Почленно возведя уравнения в квадрат и сложив их, получим после очевидных преобразований откуда

Для этих будет

Поэтому удобно рассмотреть два случая:

Ответ.

Несколько стандартных приемов решения систем тригонометрических уравнений

Основные методы решения систем тригонометрических уравнений те же, что и алгебраических систем (X, § 2). Прежде всего это — исключение неизвестных и замена неизвестных. Исключать неизвестные, как мы уже знаем, можно при помощи двух основных приемов. Можно из одного уравнения выразить какое-то неизвестное (функцию от него) и подставить в остальные. Так была решена система 23. Можно преобразовывать данные уравнения и составлять затем комбинации, в которых число неизвестных уменьшается, как это было сделано при решении системы 24.

25.Решить систему:

Решение. Рассмотрим второе уравнение как квадратное относительно (С этим приемом мы уже встречались: X, § 2 и X, § 5.)

Имеем Корнями этого уравнения являются

Рассмотрим первый случай: Первое уравнение преобразуем к виду или

Заменив получим

откуда:

Корнями соответствующего квадратного уравнения будут

Если же то

Рассмотрим второй случай. Преобразовав первое уравнение, будем иметь после замены

откуда:

Нам подходит один корень т. е.

Запишем решение последнего уравнения в виде двух серий:

и

Для первой серии находится во второй четверти, и

Для второй серии

Ответ.

Замечание. В ответе объединены пункты а) обоих случаев. Можно было бы объединить и два других множества и записать ответ более компактно:

26.Решить систему:

Решение. В каждом из уравнений перенесем второе слагаемое в правую часть и перемножим соответственно правые и левые части получившихся уравнений. Получим:

откуда

Далее имеем

Возникают два случая: четное,

Подставив в любое из уравнений, получим Это уравнение легко решается.

Итак, в случае будет или тогда или Объединив пункты а) и б), получим ответы:

В этом случае и из второго уравнения системы найдем Нетрудно видеть, что получившаяся серия совпадает с первой серией ответов, полученных в пункте а).

Ответ.

Замечание. Вторую и третью серии можно объединить в одну:

Сравните решения систем 24 и 26. В системе 24 мы возводили уравнения в квадрат и складывали, с тем чтобы, используя тождество уменьшить число неизвестных. (В других случаях этот прием применяется после предварительных преобразований.) В системе 26 перемножались нужным образом преобразованные уравнения, после чего полученное уравнение вновь преобразовывалось при помощи формул перехода от произведения тригонометрических функций к сумме и наоборот.

В большинстве случаев замена неизвестных в системах тригонометрических уравнений делается с целью свести данную тригонометрическую систему к алгебраической. Например:

27.Решить систему:

Решение. Обозначим

Выразив через получим систему

Разделим обе части первого уравнения на 2 и вычтем одно из другого. Получим:

Это — известное нам (X, § 2) однородное уравнение.

Разделив обе части уравнения на будем иметь квадратное уравнение относительно из которого найдем

Далее находим

(В случае решений нет.) Затем возвращаемся к исходным неизвестным.

Ответ.

Нестандартные тригонометрические уравнения

В практике конкурсного экзамена не так уж редко встречаются уравнения, решение которых основывается на ограниченности функций Например:

28.Решить уравнение:

Решение. Поскольку то левая часть не превосходит 3 и равна 3, если

Для нахождения значений , удовлетворяющих обоим уравнениям, поступим следующим образом. Решим одно из них. Затем среди найденных значений отберем те, которые удовлетворяют и другому.

Начнем со второго:

Тогда

Понятно, что лишь для четных будет

Ответ.

Другая идея реализуется при решении следующего уравнения:

29.Решить уравнение

Решение этого уравнения основывается на следующем простом соображении: если убывает с ростом

Значит, Сложив почленно эти неравенства, будем иметь:

Следовательно, левая часть данного уравнения равна 1 тогда (и только тогда), когда выполняются два равенства:

т. e. может принимать значения —1, 0, 1, a может принимать значения —1, 0.

Ответ.

Для полноты картины рассмотрим еще два примера.

30.Решить уравнение:

Решение. Ранее была выведена формула (13):

Из этого равенства, в частности, следует, что причем могут зависеть от . Применив это неравенство к первым двум слагаемым в левой части нашего уравнения и учтя, что получим: вся левая часть не превосходит 7.

Для того чтобы выполнялось равенство, необходимо (но не достаточно), чтобы Последние два уравнения несовместимы. (Докажите!) Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

31.Решить уравнение:

Решение. Будем рассматривать левую часть данного уравнения как квадратный трехчлен относительно .

Пусть D — дискриминант этого трехчлена:

Из неравенства следует

Значит, возникают две возможности:

Если то из уравнения следует, что и откуда

Эти значения удовлетворяют уравнению.

Если то из уравнения находим Эти значения также удовлетворяют уравнению.

Ответ.

Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции

К нестандартным следует отнести также уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.

32.Решить уравнение:

Решение. По определению обратных тригонометрических функций Найдем

Эта задача сводится к следующей: «Найти если

Поскольку то

Получаем уравнение откуда

Получаем для два значения:

Второе значение для не подходит, поскольку

Ответ.

Замечание. Данное уравнение можно решить и иначе. Обозначим левую и правую части данного уравнения через . Тогда Для имеем тригонометрическое уравнение, сводящееся к квадратному относительно

По смыслу задачи следовательно,

значит,

33.Решить уравнение:

Решение. Перепишем уравнение в виде Если равны углы, то равны и тригонометрические функции от них. (Обратное неверно.) Осталось удачно выбрать эту функцию. Понятно, что выбирать надо между синусом и косинусом. В данном случае предпочтительнее оказывается косинус. Можно привести некоторые соображения в пользу такого выбора. А лучше убедиться в этом на практике.

Итак, имеем

Поскольку то получаем уравнение

Это уравнение имеет единственный корень (два других корня уравнения, получающегося при возведении в квадрат данного, оказываются посторонними).

Ответ. 0.

Тригонометрические неравенства

При решении неравенств вида периодическая функция с периодом , следует сначала решить это неравенство на одном периоде, например для а затем получившееся решение периодически продолжить.

В некоторых случаях тригонометрическое неравенство сводится к решению элементарных неравенств вида и т. д. Рассматривая график соответствующей тригонометрической функции или изучая ее изменение на тригонометрическом круге, выписываем ответ для одного периода, а затем к обеим частям полученного неравенства прибавляем где — период. Так, решением неравенства будет совокупность интервалов

Основным методом решения тригонометрических неравенств является метод интервалов. Например:

34.Решить неравенство:

Решение. Функция, расположенная в левой части неравенства, имеет наименьший период, равный . Найдем, где на отрезке меняют знаки отдельные множители числителя и знаменателя (рис. 4):

Внутри первого отрезка все три функции положительны. Далее расставляем знаки. Затем выписываем ответ для одного периода (включая в него те граничные значения , для которых обращается в нуль числитель, но не равен нулю знаменатель).

Получаем После чего окончательный ответ получаем, прибавляя к граничным значениям.

Ответ.

Иногда при решении тригонометрических неравенств могут возникать проблемы, связанные с упорядочением корней тригонометрических функций. Например:

35.Решить неравенство:

Решение. Период функции, расположенной в левой части неравенства, равен Корни второго сомножителя легко находятся (для

Решим уравнение

Имеем (формула где

Получаем уравнение откуда

Пусть Легко видеть, что

На отрезок попадают два значения

Найдем Поскольку

Поскольку При левая часть отрицательна, в точке меняют знак оба множителя, в остальных — по одному. Теперь выписываем ответ на периоде, а затем периодически его продолжаем.

Ответ.

Показательная и логарифмическая функции

Определения и разные задачи:

Равенство

где основание логарифма), определяет число Зная одно лишь это определение, уже можно решать не очень сложные задачи. Например:

1.Вычислить

Решение. а) Если то по определению логарифма

б) Поскольку

Каждая из функций является обратной по отношению к другой. Напомним, что функция является обратной по отношению к функции если областью определения функции является область значений функции и для любых таких, что справедливо равенство Для того чтобы функция имела обратную (являлась обратимой), необходимо и достаточно, чтобы каждое свое значение она принимала ровно один раз. В частности, достаточно, чтобы являлась строго монотонной функцией. Из этого следует, что график функции симметричен графику функции относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов. Ясно, что, во-первых, и само понятие обратной функции симметрично (т. е. функция является обратной по отношению к функции , если обратная к ), во-вторых, не любая функция имеет обратную и, в-треть-их, для пары взаимно обратных функций областью определения одной из них является область изменения другой и наоборот.

Формулируя свойства логарифма (часто словесно), мы обычно для краткости опускаем слова, указывающие на область применимости (например: «Логарифм произведения равен сумме логарифмов…»). К сожалению, подобная неаккуратность иногда переносится и на задачу, что приводит к печальным последствиям (в частности, к потере корней при решении уравнений).

Известные школьные свойства логарифма полезно пополнить еще одной формулой.

Прологарифмируем равенство (1) по основанию По правилу логарифмирования степени будем иметь откуда

В частности, если

Обратим внимание в связи с этим на одно забавное «мнемоническое» правило, используя которое можно ускорить процесс упрощения выражений, содержащих произведения и частные логарифмов. Если поставить в соответствие логарифму дробь и то же сделать для других логарифмов, то равенству можно поставить в соответствие равенство которое означает обычное сокращение на Аналогично можно подойти и к равенству (2). (Заметим, что это сходство с дробями дальше не распространяется.)

Рассмотрим пример.

2.Упростить выражение:

Решение. На основании нашего правила после всех сокращений получим дробь которой соответствует

Еще раз решите эту задачу, преобразуя каждый из заданных логарифмов по формуле (2), взяв иными словами, перейдя во всех логарифмах к одному основанию 2.

Вообще при решении любых задач, содержащих логарифмы по различным основаниям, следует запомнить одну рекомендацию, почти не имеющую исключений: необходимо перейти во всех логарифмах к одному основанию.

Сформулировав это «почти» общее правило, рассмотрим, одна-1 ко, два примера, в которых осуществляется это «почти», т. е. переход к одному основанию в них ничего не дает.

2.Сравнить:

Решение. а) Попытаемся подобрать такое рациональное число которое разделило бы данные числа, т. е. было бы больше одного из них, но меньше другого. Заметим, что оба логарифма больше 1, но меньше 2.

Попробуем сравнить их с Оказывается, так как a так как Таким образом,

Предложенный метод сравнения можно назвать методом «вставки» (между двумя сравниваемыми «плохими» числами вставляется «хорошее» число) или методом «разделения» (находится число, разделяющее данные два числа). Иногда этот метод реализуют в иной форме: ищут такое натуральное число при умножении на которое сравниваемых чисел получают такие числа что между ними находится хотя бы одно целое число. Этот метод имеет весьма широкую область применения.

Однако он с трудом реализуется, если сравниваемые числа очень близки друг к другу, как это, в частности, имеет место в пункте б). При решении этого примера срабатывает один любопытный прием. Вычтем из рассматриваемых чисел по 1. Тогда получим

В первом неравенстве мы пользовались тем, что если (т. е. тем, что при функция убывает), во втором — монотонностью функции

Подоплека этого приема запрятана достаточно глубоко. Дело в том, что оба сравниваемых числа очень близки к 1. Вычитая 1, мы получаем числа, близкие к нулю, более удобные для сравнения (так как возрастает относительная разность).

Показательные и логарифмические уравнения

Специфика решения уравнений рассматриваемого класса уравнений состоит в расширении методов и формул преобразований, в частности, добавляются две взаимно обратные операции — логарифмирование и потенцирование; в пополнении списка замен, целью которых, как правило, является сведение данного уравнения к алгебраическому; и, наконец, добавляются два элементарных уравнения:

Рассмотрим несколько упражнений.

4.Решить уравнение:

Решение. Сделаем замену Получим уравнение После возведения в квадрат и упрощений приходим к квадратному уравнению Корни последнего и 9.

Второй корень является посторонним (если Таким образом,

Возвращаясь к неизвестному получаем

Ответ. — 1.

При решении этого уравнения имеет место достаточно типичная ситуация: уже после первого шага — замены неизвестного — мы получаем алгебраическое уравнение и вновь возвращаемся к показательной функции уже в самом конце и на уровне элементарного уравнения. По существу, это уравнение если и относится к категории показательных, то лишь по внешним, несущественным признакам.

5.Найти корни уравнения:

Решение. Группируем отдельно степени с основанием 2 и с основанием 3. Получим откуда

Ответ. 2.

6.Решить уравнение:

Решение. Грубой ошибкой, о которой мы уже предупреждали читателя, было бы преобразование левой части на основании равенства верного лишь при

Потенцируя данное равенство, будем иметь уравнение среди решений которого надо отобрать те, для которых

Полученное уравнение распадается на два: и

Корни первого корни второго 3 и 6.

Подходят и 3. (Докажите, что

Ответ. 3;

7.Решить уравнение:

Сделаем замену Поскольку

то второе слагаемое в левой части уравнения равно Получаем откуда

Ответ. —2; 2.

8.Решить уравнение:

Решение. Правая часть уравнения равна 2. Имеем:

Корни этого уравнения —18 и 20.

Первый корень не удовлетворяет исходному уравнению, поскольку при основание логарифма становится равным 1.

Ответ. 20.

9.Решить уравнение:

Решение. Прологарифмируем данное уравнение по основанию 5 (или 2). Вообще говоря, можно логарифмировать по любому основанию, но не совсем удачный выбор основания может привести к громоздким преобразованиям.

Имеем

Ответ.

10.Решить уравнение:

Решение. Перейдем во всех логарифмах к одному основанию 2 (так, например, и сделаем замену

Получим

Корни этого уравнения —3 и —1.

Ответ.

Аналогичное преобразование — переход к одному основанию — можно осуществлять и для функций показательных. Например:

11.Решить уравнение:

Решение. Преобразуем

Уравнение имеет вид:

Ответ. 2.

При решении уравнений, содержащих логарифмические и тригонометрические функции, как правило, наиболее трудной задачей является отбор корней.

12.Решить уравнение:

Решение. Из данного уравнения следует, что (Понятно, что на наложены ограничения: Ясно также, что

Откуда

Сделаем замену тогда и Получаем относительно уравнение

Второй корень не подходит, так как должно выполняться неравенство (это следует из ограничений). Получаем уравнение Перейдем к тангенсам половинного угла: Будем иметь откуда

Теперь найдем . Если если же то, наоборот,

Ответ.

Мы не будем здесь рассматривать примеры систем уравнений, содержащих показательные и логарифмические функции, поскольку никакие новые идеи по сравнению с уже рассмотренными в нашем пособии не включаются в стандартную схему.

Показательные и логарифмические неравенства

Решение показательных и логарифмических неравенств основано на монотонности показательной и логарифмической функций. В общем случае если функция монотонно возрастает, то из неравенства следует, что Подчеркнем: именно из первого следует второе, поскольку обратное утверждение «Если то может оказаться и неверным, так как (вместе или порознь) могут не принадлежать области определения функции .

Если же монотонно возрастает (или убывает) и определена при всех то неравенства оказываются эквивалентными. Именно это имеет место для показательной функции.

Рассмотрим решения нескольких неравенств.

13.Решить неравенство:

Решение. Имеем

Функция монотонно возрастает, значит,

Ответ.

14.Решить неравенство:

Решение. Функция монотонно убывает, следовательно, потенцируя, меняем в неравенстве знак на противоположный. Получаем

К этому неравенству надо добавить (область определения).

Решая систему неравенств, получаем

Ответ.

Если в неравенстве фигурирует логарифмическая функция, содержащая неизвестное в основании, то обычно рассматриваются два случая: основание больше 1 и основание меньше 1 (но больше нуля).

15.Решить неравенство:

Решение. Рассмотрим два случая:

Тогда (при потенцировании сохраняем знак неравенства). Решая систему из двух неравенств, находим

Тогда (знак неравенства меняется). К этим двум неравенствам следует добавить еще два: (область определения). Заметим, что в первом случае нет необходимости в добавлении аналогичных неравенств. Полученная система неравенств несовместна.

Ответ.

Обратите внимание, что в этом неравенстве правильный ответ можно получить, не рассматривая второй случай. Ясно, однако, что его отсутствие является грубой ошибкой.

При использовании для решения рассматриваемых неравенств метода интервалов полезно запомнить две следующие рекомендации:

Выражение при имеет тот же знак, что и противоположный, если Оба варианта можно объединить в один: выражения и имеют один знак.

Аналогично и также имеют один знак (докажите самостоятельно). Правда, формальная замена множителя выражением приводит к расширению области определения, и об этом нельзя забывать.

16. Решить неравенство:

Решение. Имеем Левую часть неравенства заменим на

Получаем (не забудем и про условие

Последнее неравенство решается методом интервалов.

17.Решить неравенство:

Решение. Заменяя каждый множитель на выражение того же знака, приходим к неравенству

при условии Разложив на множители знаменатель, получим неравенство

Ответ.

Элементы математического анализа

«Математический анализ», а точнее, «Основы математического анализа» — единственный раздел изучаемой в школе математики, не относящийся к элементарной математике. Основным объектом изучения здесь является числовая функция. Несмотря на краткость, школьный курс «Основ математического анализа» дает возможность выпускнику средней школы не только получить представление о математическом анализе как о мощном прикладном аппарате современной математики, но и научиться сознательно им пользоваться при решении целого ряда задач, не поддающихся элементарным методам.

Не стремясь к расширению или углублению школьной теоретической базы, мы рассмотрим некоторые виды задач, встречающиеся в школьной или конкурсной практике, при решении которых используются идеи математического анализа и его аппарат.

Функции и графики

Основной принцип математического анализа, его идеология состоит в кинематическом подходе к функции. Это означает, что акцент делается на изучение изменения функции в зависимости от изменения аргумента, ее развития во времени (аргумент — время). Кинематический подход, в частности, выражается также в том, что каждое значение аргумента рассматривается вместе с некоторой его окрестностью и изучается поведение функции в этой окрестности (локальное поведение функции). Можно сказать, что при построении графиков функций наша задача — исходя из локальных характеристик, получить изображение в целом. При этом сам аппарат математического анализа нередко играет вспомогательную количественно-уточняющую роль, в то время как качественная картинка может быть получена и без него. Приведем пример.

1. Построить график, функции

Картинка, изображенная на рисунке 5, легко получается из соображений здравого смысла: положителен лишь при

обращается в 0 при неограниченно возрастает по мере возрастания аргумента и убывает при его убывании; график не имеет «углов» и т. д. Аппарат математического анализа дает возможность эти свойства обосновать, а также определить координаты локального минимума

Нам кажется очень важным научиться строить качественные картинки, эскизы графиков до применения аппарата исследования, аппарата математического анализа. Очень часто, однако, приходится сталкиваться с обратной ситуацией, когда исследование функции в задаче «построить график» превращается в самоцель. Заполняется анкета из двух десятков пунктов, половина которых по отношению к рассматриваемой функции попросту бессмысленна (например, периодичность для многочлена), а в итоге не всегда можно результаты проведенного исследования объединить на графике. Необходимо развивать графическую интуицию, умение бегло графически интерпретировать различные математические формулы.

2.Построить график функций:

Решение. а) На рисунке изображен эскиз графика из соображений здравого смысла, правда, речь идет о здравом смысле опытного человека. Поясним кратко, как возникла эта картинка. Прежде всего меняет знак при переходе через значения —1,0, 1 и 2 (если при этом обращается в нуль в точках в то время как 1 и 2 — нули знаменателя, эти точки не входят в область определения функции. При приближении к 1 или 2 величина неограниченно возрастает, а знак определяется тем, с какой стороны приближается к 1

(или 2). Прямые являются для нашей функции вертикальными асимптотами. Далее, при возрастании (движение вправо по оси ) или его убывании (движение влево) приближается к 1. (Это следует из того, что старший член числителя и знаменателя есть Или преобразуем дробь к виду

Если достаточно велик, малы.) Теперь картинка, изображенная на рисунке , получается практически автоматически. Двигаясь слева направо, следуя высказанным выше соображениям, мы просто вынуждены изобразить нечто похожее. Использование аппарата математического анализа дает нам возможность точно определить координаты точек а также обосновать качественную правильность этой картинки.

б) Рисунок также возникает из аналогичных простых соображений. Необходимо обратить внимание на поведение функции при уменьшении аргумента — движении влево по отрицательной полуоси. График функции при движении влево неограниченно приближается к оси (отрицательная полуось является горизонтальной асимптотой). Это утверждение является следствием следующего общего утверждения: при любых функция с ростом , начиная с некоторого является монотонно убывающей функцией, стремящейся к 0. Запомните: показательная функция растет быстрее степенной, а степенная — быстрее логарифмической.

Докажем это утверждение. Возьмем сначала Рассмотрим При так как Далее, при всех Следовательно, для любого или иначе

Далее, (учитываем, что Из последнего неравенства следует справедливость нашего утверждения: при

Рассмотрим теперь выражение в общем виде. Сделаем замену Получим т.е. общий случай мы свели к уже рассмотренному частному.

Возвращаясь к нашему графику, укажем точки экстремумов

в) Несколько сложнее обстоит дело с графиком этой функции. Оказывается, эта функция имеет наклонные асимптоты. Прямая является наклонной асимптотой для функции , если с возрастанием (убыванием) график функции неограниченно приближается к прямой линии

Найдем асимптоты функции Пусть Понятно, что если функция имеет наклонную асимптоту, то с ростом стремится к угловому коэффициенту этой асимптоты

В нашем случае и с возрастанием ,
стремится к 1. Определив будем искать — свободный член уравнения асимптоты. Разность стремится к . Тогда

Получившаяся дробь, очевидно, стремится к 1, т. е. Уравнение асимптоты будет Для отрицательных значений аргумента для отрицательных ). Поскольку то при
Получаем график (рис. 6, в).

Производная и касательная

В школьной практике мы встречаемся в основном с «хорошими» функциями, т. е. с такими функциями, графики которых имеют касательные в каждой точке, за исключением, быть может, конечного числа точек. (В математике линия, имеющая в каждой точке касательную, называется гладкой.) Пусть есть уравнение касательной для функции в точке Тогда, как мы знаем, т. е. производная, есть тангенс угла наклона (угловой коэффициент) касательной, уравнение касательной. Положительность производной означает возрастание функции, отрицательность — убывание; смена знака происходит в точках экстремума, при этом, если знак меняется с « + » на « —» (возрастание сменилось убыванием), то рассматриваемая точка есть точка максимума, в противоположном случае (с « —» на « + ») —точка минимума.

Обычно по отношению к касательной дуга рассматриваемой кривой в некоторой окрестности точки располагается одним из трех способов, указанных на рисунке 7. (В принципе возможны и более сложные ситуации, однако они в школьной и конкурсной практике не встречаются.) В первом случае дуга расположена под касательной, функция выпукла вверх; во втором — дуга над касательной, функция выпукла вниз (или вогнута); в третьем происходит переход (перегиб) дуги с одной стороны касательной на другую, точка перегиба.

В качестве критерия выпуклости и вогнутости можно использовать вторую производную функции (производную от производной). Так, если вторая производная положительна, то первая возрастает, т. е. возрастает угол наклона касательной (рис. 8, а), функция выпукла вниз (вогнута); если вторая производная отрицательна, функция выпукла вверх (рис. 8, б). Точки перегиба характеризуются изменением знака второй производной.

Задание. Проведите исследование графиков функций 2, а, б, в на предмет выпуклости, вогнутости.

Рассмотрим несколько задач по теме «Производная и касательная».

3.Найти уравнения общих касательных к графикам функций

Решение. Возьмем на второй кривой точку Уравнение касательной к кривой в этой точке будет Заметим, что условие касания параболы и прямой есть равенство нулю дискриминанта квадратного уравнения (X, § 5). Получаем для уравнение откуда

Ответ. Уравнения общих касательных имеют вид и

4.Найти уравнение касательной к графику функции имеющей единственную общую точку с графиком этой функции.

Решение. Пусть искомая касательная касается заданной функции в точке с абсциссой , т. е. ее уравнение имеет вид:

Эта прямая пересекается с графиком функции в единственной точке, абсцисса которой равна (по условию). Значит, уравнение имеет единственное решение Перенесем все в левую часть и разложим на множители, будем иметь:

Таким образом

Ответ. Уравнение искомой касательной имеет вид

Замечание. Искомая касательная есть не что иное, как касательная, проходящая через точку перегиба. С точки зрения наглядно-графических представлений подобный результат достаточно очевиден.

5.На графике функции взяты точки А и В с абсциссами и Пусть М — некоторая точка дуги АВ. Чему равно наибольшее значение площади треугольника АМВ?

Решение. Возьмем на дуге АВ точку такую, что касательная к функции в точке параллельна прямой АВ (рис. 9). Легко видеть, что площадь треугольника является наибольшей.

Таким образом, угловой коэффициент касательной равен

Теперь находим:

Уравнение касательной в точке будет:

Уравнение АВ имеет вид

Высота в треугольнике опущенная на АВ, равна

(Расстояние между двумя параллельными прямыми

и можно определять по формуле

Искомая площадь будет равна

Задачи на максимум и минимум

Одной из важнейших областей приложения понятия производной (и всего раздела математического анализа, называемого дифференциальным исчислением) являются экстремальные задачи.

Общая схема решения экстремальной задачи методами математического анализа достаточно известна. Напомним все же ее. Выбирается параметр (переменная) , через который удобно выражается исследуемая величина . Находится функция, выражающая через , т. е. , и область изменения параметра (переменной) . (В более простых случаях функция и область изменения задаются.) В большинстве случаев мы имеем задачу: найти наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке (или на заданном луче, или на всей прямой), где функция определена и имеет производную в любой внутренней точке этого отрезка. Далее находим точки на рассматриваемом отрезке, в которых производная обращается в нуль (критические точки). Исследуем их на максимум-минимум. После чего находим нужное — наибольшее или наименьшее — значение, которое достигается или в одной из критических точек, или на границе области изменения .

Рассмотрим несколько примеров.

6.Отрезок с концами на сторонах прямого угла содержит внутри себя точку, удаленную на расстояния 1 и 8 от сторон этого угла. Найти наименьшую длину таких отрезков.

Решение. Пусть (рис. 10) Связь между и можно получить, исходя из подобия соответствующих треугольников, а можно из равенства откуда

Нам надо найти наименьшее значение функции при Находим производную и приравниваем ее нулю. Получаем: или

Понятно, что найденное значение соответствует именно наименьшему значению исследуемой функции (проследите смену знаков производной).

Ответ.

7.Из круга радиусом вырезан сектор и из сектора склеен конус (боковая поверхность конуса). Каков наибольший объем получившейся конической воронки?

Решение. Пусть центральный угол сектора, радиус основания конуса. Из равенства (длина окружности основания равна дуге сектора) находим Образующая
конуса , значит, его высота равна а объем

Задача сводится к нахождению наибольшего значения функции

(от ): а лучше

Беря производную по и приравнивая ее нулю, будем иметь: и т.д.

Ответ. Наибольший объем равен

8.Сосуд, имеющий форму конуса, у которого угол при вершине осевого сечения наполовину наполнен водой (уровень воды перпендикулярен оси конуса). В сосуд опущен металлический куб (одна грань куба перпендикулярна оси конуса). В какое наибольшее число раз может увеличиться уровень воды в сосуде?

Решение. Пусть высота части, заполненной водой, равна ребро куба, — высота уровня после опускания куба. Рассмотрим сечение конуса и куба плоскостью, проходящей через ось конуса и две вершины куба, расположенные на боковой поверхности конуса (рис. 11). Высота «маленького» конуса, лежащего под нижней гранью куба, равна

Пусть Объем конуса высотой ( он равен составляется из объема имевшейся воды и объема части куба

Получаем уравнение

Не будем выражать через (тем более что непонятно, как это сделать). Однако, рассматривая как функцию от , возьмем производную от обеих частей получившегося равенства:

Но в точке максимума (Докажите, что коэффициент при не равен нулю.) Значит, если максимален, то Неравенство переходит в неравенство

Пусть В этом случае Заменяя на в полученном соотношении, найдем:

т. е. в этом случае уровень максимально повысится в раз.

Пусть В этом случае верхняя грань искомого куба должна находиться на уровне воды, т. е.

Из этих отношений

Ответ. Если то максимально уровень воды воз-

растет в раз. Если то в раз. (Проверьте, что во всех случаях вода не польется через край.)

9.Два корабля движутся по двум перпендикулярным прямым, пересекающимся в точке О, по направлению к О. В какой-то момент времени оба находятся в 65 км от О, скорость первого равна 15 км/ч, второго — 20 км/ч. От первого корабля отходит моторная лодка, движущаяся со скоростью 25 км/ч.

а) За какое наименьшее время катер может доплыть от первого корабля до второго?

б) За какое наименьшее время катер может доплыть от первого корабля до второго и вернуться обратно на первый корабль?

Решение. а) Пусть катер отправляется через часов от момента, когда оба корабля находились в 65 км от О и были в пути T часов, т. е. в момент отправления катера первый корабль находится на расстоянии 65 — 15 от О, в момент прибытия катера второй корабль находится на расстоянии 65 — 20 от О, а путь катера 25T км; имеем уравнение

или после упрощения:

Далее можно поступить так же, как при решении предыдущей задачи. Возьмем производную по (продифференцируем) от обеих частей уравнения (1), считая и положим (ищем наибольшее значение). Получим Решив полученную систему, найдем Найденное значение не может быть ничем иным, как наименьшим значением T, поскольку такое наименьшее T существует, а при соответствующее

Так можно решить задачу при помощи производной. Однако можно обойтись и без методов анализа. Соотношение (1) можно рассматривать как квадратное относительно . Его дискриминант (зависящий от T) должен быть неотрицательным. Получаем для T неравенство откуда Квадратный трехчлен поможет нам и в решении пункта б).

Пусть катер отправляется в момент прибывает на второй корабль в момент и возвращается в момент Время катера

Получаем два соотношения:

Таким образом, и — корни квадратного уравнения

Поскольку то наименьшее значение будет при

Ответ.

Последняя задача напоминает нам о том, что, даже владея таким мощным аппаратом, как математический анализ, не следует забывать о методах элементарных, о том, что эти элементарные методы вовсе не исчерпали свои возможности.

Использование производной при решении различных задач

Экстремальные задачи далеко не единственные, где можно использовать производную. Приведем еще несколько примеров. Производная может быть с успехом использована при доказательстве различных неравенств. Так, для того чтобы доказать неравенство при достаточно доказать, что и при . А для того чтобы доказать неравенство при можно воспользоваться второй производной и при ) и т. д.

Например:

10.Доказать, что при имеет место неравенство

Решение. Рассмотрим функцию Имеем

Но при (известное неравенство), значит, при . Теперь возвращаемся к а затем и Можно было бы не останавливаться на а пойти дальше: Последнее неравенство совсем очевидно.

С помощью удачно подобранной функции можно доказать числовые неравенства. Например:

11.Что больше: или

Решение. Рассмотрим функцию Эта функция определена при и имеет наибольшее значение при (Докажите!) Значит, или откуда

Можно рассмотреть другую функцию: Значит, возрастает и

С помощью производной можно производить также оценку числа корней того или иного уравнения. Один из возможных приемов основывается на следующей теореме: если функция имеет в каждой точке отрезка производную, то между любыми двумя корнями этой функции, расположенными на отрезке, имеется хотя бы один корень ее производной. Мы не будем давать доказательство теоремы. Строгое доказательство опирается на

различные свойства дифференцируемых (имеющих производную) функций, большинство из которых в школьном курсе не доказывается. С графической точки зрения эта теорема достаточно очевидна. Рассмотрим пример.

12.Доказать, что уравнение может иметь не более трех различных решений.

Доказательство. Рассмотрим функцию Предположим, что эта функция имеет четыре различных корня. Поскольку имеет производную всюду, то должна иметь не менее трех различных корней (по одному между любыми двумя корнями обращается в нуль не менее трех раз. Тогда имеет не менее двух нулей, а имеет по крайней мере один нуль. Противоречие.

Очень мощное средство для доказательства различных числовых и функциональных неравенств дает нам понятие выпуклости функции. Еще раз напомним: если функция выпукла (вверх) на некотором интервале, то ее график на этом интервале расположен ниже касательной к нему в любой его точке, а хорда, соединяющая любые две точки графика, расположена ниже соответствующей дуги (рис. 12).

Переведем сказанное на язык формул.

Пусть выпукла вверх в некоторой окрестности точки

Тогда в этой окрестности имеет место неравенство

Далее, рассмотрим два значения аргумента такие, что на отрезке функция выпукла (вверх). Пусть Рассмотрим трапецию (рис. 13):

Найдем

Следовательно,

Последнее неравенство иногда записывают в иной форме. А именно обозначим

Тогда

и получаем неравенство

где Это неравенство является характеристическим для выпуклой (вверх) функции. Для функции вогнутой (выпуклой вниз) во всех неравенствах (1,2, 2′) знаки заменяются на Неравенство (2′) может быть обобщено. Если функция выпукла (вверх), то для любых и справедливо неравенство

Доказать неравенство (3) можно методом индукции. При неравенство верно (2′). Пусть оно верно для Рассмотрим чисел

Введем

Тогда

Поскольку то справедливо неравенство (по предположению индукции)

(В последнем переходе мы воспользовались неравенством (2′), в котором вместо взяты а вместо взяты

Утверждение доказано.

Теперь несколько примеров.

13.Доказать, что

Решение. Для доказательства того, что воспользуемся неравенством (1) для функции взяв оценив затем

Для правой части воспользуемся неравенством (2), где

Применяя общее неравенство (3) к конкретным функциям, выпуклость или вогнутость которых можно обосновать с помощью второй производной, получают интересные конкретные неравенства.

14.Доказать, что для положительных справедливо неравенство

среднее арифметическое чисел их среднее геометрическое.

Решение. Пусть эта функция выпукла (вверх). Возьмем

Будем иметь:

откуда

Понятно, что равенство имеет место, если Этот небольшой обзор отнюдь не исчерпывает прикладные возможности таких понятий, как «производная», «выпуклость». По этому поводу можно написать (и написаны) целые тома. Мы же затронули, причем на уровне иллюстраций, лишь малую толику.

Уравнения и неравенства — решения задач

Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенств. Одну из наиболее часто встречающихся идей хорошо иллюстрирует решение следующего простого неравенства:

1.Решить неравенство: (X, § 3).

Решение. Подобные неравенства мы уже решали. Есть два стандартных пути: возведение в квадрат (при условии если же неравенство выполняется) и замена неизвестного

Рассмотрим еще один способ — нестандартный. Функция, расположенная в левой части, монотонно возрастает, в правой части убывает. Из очевидных графических соображений следует, что уравнение имеет не более одного решения, причем если решение этого уравнения, то при будет решением данного неравенства будет Значение легко подбирается: Таким образом, имеем ответ:

2.Решить уравнение

Решение. Данное уравнение имеет очевидное решение Докажем, что других решений нет. Поделим обе части на получим Левая часть представляет собой монотонно убывающую функцию. Следовательно, каждое свое значение она принимает один раз, т. е. данное уравнение имеет единственное решение.

Ответ.

Итак, основная идея, на которой основывались решения этих двух примеров, весьма проста: если монотонно возрастает, а монотонно убывает, то уравнение имеет не более

одного решения, причем если решение этого уравнения, то при ( входит в область определения обеих функций будет а при будет Стоит обратить внимание на одну модификацию этой идеи, а именно: если монотонная функция, то из равенства следует, что

3.Решить уравнение:

Решение. Преобразуем уравнение:

Рассмотрим функцию

Докажем, что при эта функция монотонно убывает. Это можно сделать, например, стандартным образом: найти производную и доказать, что при Покажем другой способ:

Получившаяся функция, очевидно, является убывающей (основание растет, под знаком логарифма функция убывает).

Наше уравнение имеет вид: значит, Слева функция возрастающая, справа убывающая, следовательно, решение единственно, оно легко находится подбором:

Уравнения вида При решении уравнений указанного в заглавии вида полезна бывает теорема:

Если монотонно возрастающая функция, то уравнения

Доказательство. То, что уравнение (Б) является следствием уравнения (А), очевидно: любой корень (А) удовлетворяет (Б). (Если то Докажем, что любой корень уравнения (Б) удовлетворяет уравнению (А). Пусть такое, что Предположим, что и для определенности Тогда что противоречит предположению Теорема доказана.

Вопрос. Верна ли сформулированная теорема для монотонно убывающей функции?

Замечание. Если монотонно возрастает, то при любом уравнения эквивалентны.

Приведем несколько примеров использования этой теоремы.

4.Решить уравнение:

Решение. Перепишем уравнение: Рассмотрим функцию Эта функция монотонно возрастает. Имеем уравнение В соответствии с теоремой заменяем его на эквивалентное уравнение или

5.Решить уравнение:

Решение. Преобразуем уравнение:

Данное уравнение имеет вид:

Согласно теореме имеем эквивалентное уравнение:

Ответ.

6.Решить систему уравнений:

Решение. Рассмотрим функцию Поскольку при всех возрастает.

Система имеет вид

Согласно теореме удовлетворяет уравнению или

Ответ.

Использование экстремальных свойств рассматриваемых функций. Оценки. Основные идеи этого пункта достаточно хорошо видны из примеров:

7.Решить уравнение:

Решение. Левая часть данного уравнения не превосходит 2, а правая — не меньше 2 (докажите, что Следовательно, равенство может иметь место лишь при условии, что левая и правая части равны 2, т. е.

Замечание. Данная ситуация, когда наименьшее значение функции, расположенной в одной части уравнения, равно наибольшему значению функции, расположенной в другой части, может быть обобщена. Более общий случай — уравнения вида для которых при всех допустимых (формально мы можем переписать это уравнение в виде в результате приходим к уже рассмотренной ситуации, поскольку наибольшее значение правой части равно нулю).

8.Решить уравнение:

Решение. Воспользуемся неравенством

Геометрическая интерпретация этого неравенства: скалярное произведение двух векторов не превосходит произведения их длин. Оно является частным случаем общего неравенства Коши — Буняковского, доказанного нами (X, § 5). Равенство имеет место в случае коллинеарности векторов

Имеем

Значит, векторы коллинеарны, т. е.

Последний корень посторонний.

Ответ.

9.Решить уравнение:

Докажем, что данное уравнение не имеет решений. Перейдем

к следствию (потенцируем):

Оценим левую часть на основании неравенства между средним геометрическим и средним арифметическим

т. е. левая часть меньше правой. Уравнение не имеет решений. Еще несколько нестандартных примеров решения уравнений и систем уравнений.

А. Нестандартная замена

10.Решить уравнение:

Решение. Нетрудно доказать, что поскольку при

Сделаем замену:

Поскольку

то уравнение примет вид

Умножим обе части на

После преобразований будем иметь

откуда, учитывая, что найдем или

Возвращаясь к , получаем ответ.

Ответ.

Замечание. Данное уравнение давалось на конкурсном экзамене. Правда, задание было несколько иным: определить число положительных корней этого уравнения. Следует отметить, что такое задание является более «честным», поскольку подобный тригонометрический ответ в известной степени противоречит «традициям» алгебраических уравнений.

Б. Геометрическая интерпретация

Уравнение 8 из предыдущего пункта можно рассматривать и как иллюстрацию на тему «Геометрическая интерпретация».

Приведем еще один пример на эту тему.

11.Найти значения и удовлетворяющие уравнению:

Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами АС = 3, ВС = 4 (рис. 15). Разделим прямой угол на три равные части и отложим на получившихся лучах отрезки (если или отрицательны, то они откладываются в противоположную сторону).

По теореме косинусов слагаемые, расположенные в левой части, соответственно равны AM, MN и NB.

Имеем AM+MN + NB=AB.

Значит, точки М и N находятся на гипотенузе АВ, причем СМ— биссектриса в треугольнике ACN, a CN — биссектриса в треугольнике ВСМ. На основании формулы задачи (X, 27, 7) имеем

Из этой системы найдем

В. Доказательство при решении систем уравнений

12.Решить систему уравнений:

Решение. Докажем, что

Пусть для определенности

тогда из первых двух уравнений получим откуда и тем более Из второго и третьего уравнений имеем и тем более Далее из третьего и четвертого получаем и тем более Из последней пары находим Получилось противоречие а предположили, что

Значит, отсюда и т. д., все неизвестные равны между собой.

Ответ.

Нестандартные по формулировке задачи, связанные с уравнениями или неравенствами. К данной категории, в частности, относятся задачи, в которых требуется определить число корней заданного уравнения, доказать существование корня на определенном промежутке, решить уравнение или неравенство на заданном множестве. С подобного рода заданиями мы уже встречались (см., например, X, § 6 и § 3 данного пособия). Рассмотрим еще несколько примеров.

13.Доказать, что уравнение имеет одно положительное и одно отрицательное решение.

Решение. Единственность положительного решения достаточно очевидна. Это следует из того, что при левая часть заданного уравнения, т. е. монотонно возрастает, a

Докажем единственность отрицательного корня. Путей здесь много. Можно поступить следующим образом. Рассмотрим функции

Докажем, что если (Из этого будет следовать наше утверждение, поскольку в данном случае возрастает везде, где Но а при больших будет

Имеем

Значит,

Утверждение доказано.

14.Найти все целые значения , удовлетворяющие неравенству

Решение. Область определения левой части неравенства Значит, нам достаточно рассмотреть три значения : 1, 2, 3.

Если то левая часть равна

Если

Если

Ответ. 1; 2

15.Найти все целые , удовлетворяющие неравенству

Решение. Рассмотрим функцию

Докажем, что, начиная с некоторого возрастает. Это можно было сделать обычным путем, оценивая производную. Мы сделаем иначе. Нам достаточно доказать возрастание функции для целых , т. е. что

Имеем

Последнее неравенство выполняется при т. е. для всех допустимых целых .

Нам осталось найти наибольшее целое, для которого (или наименьшее, для которого

Докажем, что

Далее,

Ответ. —1,0, 1,2.

16.Найти целые корни уравнения:

Решение. Имеем откуда Значит

Поскольку — целое, то — целое, т. е. 25 делится на может равняться

Перебирая все возможности, найдем для значения —2, 0, -10.

Далее при имеем (лишний корень), при

Ответ. —7, —31.

Задачи с параметром — решения и примеры

В этой части будем рассматривать уравнения и неравенства с параметрами и вообще различные алгебраические задачи, содержащие параметры. В подобного рода задачах (мы с ними уже познакомились в X, § 5) встречаются два вида символов: неизвестные или переменные (обычно обозначаются буквами и параметры Конечно, разница между ними весьма условна, в известной степени можно сказать, что параметр — это переменная, значение которой считается фиксированным, и каждое значение параметра определяет относительно заданного неизвестного соответствующее уравнение (неравенство, систему). Иными словами, уравнение с параметром является фактически семейством уравнений, рассматриваемых при фиксированном значении параметра.

Введение параметра способствовало появлению качественно новых типов задач, вдохнуло, если так можно выразиться, новую жизнь в такие традиционные виды задач, как решение уравнений и неравенств.

Использование монотонности и экстремальных свойств функций. С идеями, указанными в заглавии, мы уже встречались (X, § 5). Рассмотрим еще две задачи.

17.Найти все значения параметра при которых существует единственное значение , при котором выполняется неравенство

Решение. Обозначим и перейдем к основанию 5. Получим:

Функция от , расположенная в числителе, монотонно убывает. Нетрудно подобрать значение , при котором она обращается в нуль:

Если то решением неравенства относительно будет а следовательно, исходное неравенство не может иметь единственного решения. (Неравенство при любом имеет бесконечно много решений.)

Значит, и решением относительно будет

Возвращаясь к , будем иметь Для того, чтобы существовало единственное значение , удовлетворяющее последним неравенствам, необходимо и достаточно, чтобы наименьшее значение квадратного трехчлена

равнялось бы 4, т. е.

Ответ.

18.Найти все значения параметра при которых существует единственная пара удовлетворяющая уравнению

Решение. Заметим, что функция (от ), расположенная в левой части уравнения, ограничена сверху, наибольшее значение равно в то время как справа расположена функция (от ), наименьшее значение которой равно 6 — .

Понятно теперь, что для существования единственной пары удовлетворяющей данному уравнению, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство откуда (Слева функция возрастает, справа убывает).

Ответ.

Симметрия. Рассмотрим две задачи.

19.Найти все значения при которых система

имеет только одно решение

Решение. Заметим, что если пара удовлетворяет системе, то и пара также ей удовлетворяет. Для второго уравнения это утверждение очевидно, для первого следует из равенств

Значит, если система имеет единственное решение, то и

Получаем систему

Понятно, что Из первого уравнения имеем или или В первом случае из второго уравнения найдем имеем решение

Второй случай из второго уравнения

Если имеем еще два решения:

Если то больше решений нет, при получаем ту же пару:

Ответ.

20.При каких значениях параметра система

имеет единственное решение

Решение. Заметим, что если эта система имеет решение то она имеет решение Следовательно, должно иметь место равенство

Приходим к уравнению

которое должно иметь единственное решение.

Таким образом,

Пусть теперь имеем систему

Вычитая почленно второе уравнение из первого, получаем:

Возникают два случая:

Заменяя в первом уравнении, получаем Это уравнение не имеет решений.

Ответ.

В обоих рассмотренных примерах требовалось определить значения параметра, при которых система уравнений имеет единственное решение. Используя особенности системы (четность по одному из переменных, переход друг в друга при перестановке неизвестных, а также иные виды симметрии), по одному решению мы конструируем другое, затем приравниваем их друг другу, в результате получаем тот вид, который должно иметь решение системы, если оно единственно.

Решение относительно параметра. С этим приемом мы уже знакомились (X, § 5). Суть его в том, что заданное уравнение или неравенство мы решаем относительно параметра. Например:

21.Найти все значения р, при каждом из которых множество решений неравенства не содержит ни одного решения неравенства .

Решение. Нам надо найти все р, такие, что при всех имеет место неравенство Решение последнего неравенства при данном относительно состоит из двух лучей, исключается внутренняя часть отрезка с концами (какой из них левый, а какой правый — неважно). Но если меняется от — 1 до 1, то меняется от 0 до 1, а меняется от 1 до 3. Теперь понятно, что не может принимать значения от 0 до 3, а при всех заданное условие выполняется. (Пусть и Если то возьмем При этих будет

Ответ.

22.При произвольных решить систему уравнений

Решение. Данная система является линейной относительно параметров . Решим ее относительно этих параметров.

Сначала освободимся во втором и третьем уравнениях от знаменателей и заменим в них выраженным из первого уравнения. Получим (после упрощений):

Освободимся от (умножая почленно уравнения соответственно на и складывая), получим:

Следовательно, Далее найдем Имеем систему

Перемножая почленно эти уравнения, найдем Значит,

Ответ.

Графические интерпретации

Те или иные графические интерпретации, на наш взгляд, одно из самых эффектных и эффективных средств решения различных задач с параметрами. Мы неоднократно пользовались этим приемом в главе «Квадратный трехчлен» (X, § 5) (см. также задачи 179, 180, 183, 184 из § 3 этого пособия).

Стоит выделить две разновидности рассматриваемого приема:

1)Изображение на плоскости где — неизвестное, — параметр.

2)На плоскости рассматривается семейство кривых, зависящих от параметра .

Первый способ обычно применяется в задачах, в которых фигурируют лишь неизвестная и параметр , или сводящихся к таким.
Второй часто оказывается удобен в задачах с двумя неизвестными и и одним параметром .
Перейдем к примерам.

23.При любом значении параметра решить неравенство

Решение. Рассмотрим плоскость и изобразим на ней множество точек, координаты которых удовлетворяют
неравенству (рис. 16). Сначала изобразим область, для точек которой имеет смысл Это будет полуплоскость (правее и ниже прямой , из которой удалены части прямых Вне полосы, ограниченной прямыми будет и, следовательно, после потенцирования неравенства получим

Последнему неравенству соответствует область под параболой (напомним, при этом

Внутри полосы будет На рисунке 16 область для точек которой заштрихована. (Заметим, что парабола касается прямой Теперь ось точками разбита на шесть участков, на каждом из которых легко выписывается решение нашего неравенства. Для этого берем на соответствующем участке, проводим горизонтальную прямую, находим значения , соответствующие концам отрезков этой прямой, попавших в заштрихованную зону.

Например, если то получаем два отрезка, концы первого: (меньший корень
уравнения второго:

Ответ. Если решений нет;

если

если

если и

если и

если

если и

24.Найти все значения , при каждом из которых система

имеет ровно четыре различных решения.

Решение. Перейдем к новым неизвестным

Получим систему

Понятно, что и новая система должна иметь четыре решения. Рассмотрим плоскость Второму уравнению соответствует на этой плоскости окружность с центром в начале координат и радиусом Первому уравнению — некоторая кривая, симметричная относительно осей координат входят в виде и биссектрис между осями координат входят симметрично). (График этой функции схематично изображен на рисунке 17.)

Поскольку окружность также симметрична относительно этих же четырех прямых, то можно сделать вывод, что если данная система имеет ровно четыре решения, то точки, соответствующие этим решениям, должны располагаться или на осях (по две на каждой), или на биссектрисах (вновь по две на каждой). В противном случае если точка, соответствующая решению, расположена иначе, то, отражая ее относительно всех четырех осей

симметрии, мы получим восемь (вместе с данной точкой) решений.

Таким образом, окружность, соответствующая второму уравнению, должна проходить или через точку (1,0), или через точку т. е. ее радиус или 1, или откуда

Для полноты решения необходимо еще обосновать, что при каждом из найденных имеется, в самом деле, ровно четыре известных нам решения, чтобы снять обвинения (справедливые) в том, что мы апеллируем к рисунку, ссылаемся на рисунок с изображением графика функции о которой мы ничего не знаем (пока), кроме наличия у нее четырех осей симметрии. Самое простое, перейдя к переменным решить две системы:

Ответ.

Замечание. Стоит обратить внимание на характерную ситуацию, часто возникающую при использовании тех или иных графических интерпретаций. Несмотря на то что они полезны всегда (вероятно, впервые мы отваживаемся на всеобщую рекомендацию), с их помощью ответ может быть получен наглядно и быстро, нередки случаи, когда одних графических рассмотрений оказывается недостаточно и для полного обоснования требуются еще те или иные аналитические методы.

От общего к частному и обратно

Прием, о котором мы хотим здесь рассказать, часто бывает полезен при решении задач, где некоторое утверждение должно выполняться при любом значении параметра или переменной. Проиллюстрируем его на следующем простом примере:

25.Найти все значения , при которых равенство

выполняется при любом значении параметра .

Решение. Возьмем Получаем уравнение

Потенцируя, получаем уравнение

Еще раз возводим в квадрат. Получили квадратное уравнение

Его корни (теорема Виета):

Таким образом, искомые значения х находятся среди двух найденных. Проверим их.

Если то будем иметь т.е. удовлетворяет уравнению при любом .

Если то имеем

Очевидно, если левая часть не равна правой.

Ответ. .

26.Найти значения параметра , при которых неравенство

выполняется при всех значениях .

Решение. Графиком функции, расположенной в левой части данного неравенства, является ломаная линия с вершинами в точках с абсциссами и .

Если в каждой из этих точек значения функции больше 3, то и всюду функция больше 3 (минимум или при , или при ).

Следовательно, нам надо решить систему неравенств

Ответ.

Задачи с логическим содержанием

Вообще логическая составляющая в полной мере присутствует практически в любой задаче с параметрами. Вероятно, любую из ранее рассматриваемых задач можно с полным правом отнести к данному разделу, поэтому те несколько примеров, которые рассматриваются здесь, попали сюда лишь потому, что не могли служить иллюстрацией какого-либо характерного приема или метода. Основная сложность в них — разобраться в логической структуре условия.

27.Найти все неотрицательные , для которых из неравенств следует, что

Решение. Перепишем первое неравенство:

Из условий следует, что Значит,

Для того чтобы из условий следовало неравенство необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство при (Неравенство должно выполняться при всех допустимых а значит, при ) Откуда

Рассмотрим квадратный относительно трехчлен Этот трехчлен мы рассматриваем при При этих он должен быть неотрицательным. Его вершина при

Рассмотрим два случая:

В этом случае на участке квадратный трехчлен возрастает. При он положителен. Значит, он положителен при всех

Наименьшее значение квадратного трехчлена для достигается при Оно равно Значит, Объединяя оба случая, получаем ответ:

28.Найти все , удовлетворяющие условию для которых выражение принимает наименьшее значение только для одной пары .

Решение. Преобразуем подкоренное выражение:

Теперь нетрудно доказать, что должно выполняться условие Докажем это.

Для этого достаточно доказать, что если то подкоренное выражение обращается в нуль (что дает наименьшее значение) более чем для одной пары . Возьмем произвольно так, что

Рассмотрим систему уравнений:

Эта система легко решается. Ее решение дает нам пару , для которой подкоренное выражение равно нулю.

Ввиду произвольности выбора получаем бесконечное число пар , для которых заданное в условии выражение принимает наименьшее значение.

Ответ.

29.Найти все значения параметра при каждом из которых минимально количество пар целых чисел удовлетворяющих условию

Решение. Нетрудно понять, что должно быть так как в противном случае неравенство имеет бесконечно много целых решений Полезно также рассмотреть графическую интерпретацию на плоскости .

Множество точек, удовлетворяющих данному неравенству (без учета целочисленности), представляет собой фигуру, ограниченную дугами двух парабол

Точка (0, 0) всегда удовлетворяет неравенству. Существуют ли такие что других целых точек в рассматриваемой области нет?

Для этого должно быть (нет точек на оси ) и (нет точек на оси ). Эти два неравенства несовместимы.

Поскольку число целых решений нечетно (почему?), следующим значением для минимально возможного числа пар будет 3. Число пар может быть равно 3, если соответствующие точки лежат на одной из осей. Есть две возможности: искомое множество состоит из пар (— 1, 0), (0, 0), (1, 0) или (0, — 1), (0, 0), (0, 1). В первом случае должно быть (точка (1,0) удовлетворяет неравенству, а точка (2, 0) не удовлетворяет) и во втором соответственно

Ответ.

Квадратный трехчлен

Техника «работы» с квадратным трехчленом, основные идеи, связанные с квадратным трехчленом, играют важнейшую роль при решении всевозможных нестандартных задач, задач с параметром. Приведем три примера.

30.Найти все значения , при которых система

имеет хотя бы одно решение.

Решение. Попытаемся сначала упростить заданную систему. Нетрудно в первом уравнении увидеть полный квадрат При почленном вычитании из второго уравнения первого появляется еще один полный квадрат

Перейдем к другой системе (в которой вместо второго уравнения возьмем полученное уравнение) и к новым неизвестным:

Будем иметь:

Вопрос тот же: при каких эта система имеет хотя бы одно решение?

Из первого уравнения

Наименьшее значение трехчлена равно —1, значит,

Осталось выяснить, при каких уравнение имеет хотя бы одно решение

Выясним сначала, может ли это уравнение иметь два корня и для обоих

Для этого необходимо (но не достаточно), чтобы (вершина параболы левее прямой

Из первого неравенства из второго Эти не-равенства несовместны. Значит, один корень меньше а другой больше, т. е. при квадратный трехчлен неположителен.

Ответ.

31.Для каждого значения , удовлетворяющего неравенствам найти наименьшее значение выражения при условии

Решение. По условию

Пусть Система имеет решение при условии (проверьте). Данное выражение преобразуем к виду

Мы пришли к следующей задаче: «Найти наименьшее значение выражения при условии, что где— целое число, (наименьшее по )». Рассмотрим два случая:

В этом случае — любое. Значит, наименьшее значение будет при оно равно

Поскольку в этом случае то наименьшее значение будет при , наиболее близком к , т. е. при Оно равняется

Последнее же выражение при будет наименьшим, если и равняется в этом случае .

Осталось выяснить, при каких наименьшим будет а при каких (). Для этого достаточно решить неравенство

Ответ. Если то наименьшее значение равно

если то наименьшее значение равно ().

32.Найти все значения параметра а, при которых каждое из уравнений

имеет решение и любой корень первого является корнем второго и наоборот.

Решение. Пусть корень первого. Тогда при любом целом также является корнем первого уравнения.

Обозначим

Второе уравнение будет иметь вид:

Если принимает не менее трех различных значений. (На самом деле различных значений не менее пяти. Это можно увидеть на круге, поскольку точки образуют правильный десятиугольник, а равные синусы имеют точки, симметричные относительно вертикальной оси.) Но если квадратный трехчлен имеет более двух корней, то он тождественно равен нулю.

Значит,

Рассмотрим эти случаи.

Получаем уравнения

Первое уравнение имеет корень не удовлетворяющий второму уравнению.

Получаем одинаковые уравнения

Ответ.

На этом мы заканчиваем небольшой обзор нестандартных задач. Многие виды задач, идеи решений остались «за кадром». Это и понятно. Ведь задачи нестандартные, само название предопределяет невозможность рассмотреть их совокупность достаточно полно, тем более что развитие элементарной математики, математики конкурсного экзамена продолжается и каждый год добавляет что-то новенькое и оригинальное в ее копилку.

Дополнительные лекции:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Уравнения и неравенства
58. Положительные и отрицательные числа
59. Алгебраические выражения
60. Иррациональные алгебраические выражения
61. Преобразование алгебраических выражений
62. Преобразование дробных алгебраических выражений
63. Разложение многочленов на множители
64. Многочлены от одного переменного
65. Алгебраические дроби
66. Пропорции
67. Уравнения
68. Системы уравнений
69. Системы уравнений высших степеней
70. Системы алгебраических уравнений
71. Системы линейных уравнений
72. Системы дифференциальных уравнений
73. Арифметический квадратный корень
74. Квадратные и кубические корни
75. Извлечение квадратного корня
76. Рациональные числа
77. Иррациональные числа
78. Арифметический корень
79. Квадратные уравнения
80. Иррациональные уравнения
81. Последовательность
82. Ряды сходящиеся и расходящиеся
83. Тригонометрические функции произвольного угла
84. Тригонометрические формулы
85. Обратные тригонометрические функции
86. Теорема Безу
87. Математическая индукция
88. Показатель степени
89. Показательные функции и логарифмы
90. Множество
91. Множество действительных чисел
92. Числовые множества
93. Преобразование рациональных выражений
94. Преобразование иррациональных выражений
95. Геометрия
96. Действительные числа
97. Степени и корни
98. Степень с рациональным показателем
99. Тригонометрические функции угла
100. Тригонометрические функции числового аргумента
101. Тригонометрические выражения и их преобразования
102. Преобразование тригонометрических выражений
103. Комбинаторика
104. Вычислительная математика
105. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
106. Прямая и плоскость
107. Линии и уравнения
108. Прямая линия
109. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
110. Кривые второго порядка
111. Кривые и поверхности второго порядка
112. Числовые ряды
113. Степенные ряды
114. Ряды Фурье
115. Преобразование Фурье
116. Функциональные ряды
117. Функции многих переменных
118. Метод координат
119. Гармонический анализ
120. Вещественные числа
121. Предел последовательности
122. Аналитическая геометрия
123. Аналитическая геометрия на плоскости
124. Аналитическая геометрия в пространстве
125. Функции одной переменной
126. Высшая алгебра
127. Векторная алгебра
128. Векторный анализ
129. Векторы
130. Скалярное произведение векторов
131. Векторное произведение векторов
132. Смешанное произведение векторов
133. Операции над векторами
134. Непрерывность функций
135. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
136. Предел и непрерывность функции одной переменной
137. Производные и дифференциалы функции одной переменной
138. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
139. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
140. Матрицы
141. Линейные и евклидовы пространства
142. Линейные отображения
143. Дифференциальные теоремы о среднем
144. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
145. Функции комплексного переменного
146. Преобразование Лапласа
147. Теории поля
148. Операционное исчисление
149. Системы координат
150. Рациональная функция
151. Интегральное исчисление
152. Интегральное исчисление функций одной переменной
153. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
154. Отношение в математике
155. Математическая логика
156. Графы в математике
157. Линейные пространства
158. Первообразная и неопределенный интеграл
159. Линейная функция
160. Выпуклые множества точек
161. Система координат